5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

5.1. Производная и дифференциал, их геометрический и физическим смысл

Производной функции в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремящемся к нулю:

Используются такие обозначения производной:

Пример 1. Вычислить производную функции

Решение. По определению имеем

Приращение называют также дифференциалом независимой переменной и обозначают через

Функция, имеющая производную в точке называется дифференцируемой в данной точке. Дифференцируемость в точке х равносильна тому, что приращение функции в этой точке представимо в виде (второе слагаемое обозначает бесконечно малую более высокого порядка по сравнению с при

Если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно: из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость.

Функция называется дифференцируемой (непрерывно дифференцируемой) на некотором множестве (интервале, отрезке и т.п.), если в каждой точке существует (непрерывная) производная

Дифференциал функции — это главная часть приращения функции в точке так что

Приближенное равенство или (при малых используется в приближенных вычислениях.

Пример 2. Вычислить приближенно

Решение. Пусть Тогда Следовательно,

Физический смысл производной. Пусть функция описывает путь у, пройденный телом, в зависимости от времени Тогда производная есть скорость движения тела в момент времени х.

Геометрический смысл производной. Касательной к графику функции в точке где называется предельное положение секущей при стремлении точки к точке М по графику функции. Если а — угол между осью х и касательной, то — угловой коэффициент касательной (рис. 16).

Рис. 16.

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид

где