5.6. Тепловое излучение

Равновесное тепловое излучение. Излучение электромагнитной (лучистой) энергии телом за счет энергии хаотического (теплового) движения его молекул называется тепловым излучением. Свойства теплового излучения определяются материалом тела и его температурой. Если из любого материала сделать замкнутую полость и поддерживать температуру ее стенок постоянной, то система

(стенка излучение) придет в состояние термодинамического равновесия, и в объеме полости установится равновесное тепловое излучение. Важнейшая особенность равновесного излучения состоит в том, что его свойства полностью определяются температурой стенок и не зависят от их материала. Это утверждение является следствием второго начала термодинамики. Кроме того, равновесное излучение однородно и изотропно.

Основные характеристики как излучения с поверхности тела, так и излучения в объеме были введены в разд. 5.1. Излучение с поверхности характеризуется энергетической яркостью В и энергетической светимостью равной количеству лучистой энергии, излученной с единицы поверхности за единицу времени по всем направлениям (т.е. в телесный угол Вводятся также спектральные разложения энергетической светимости например, величины называются излучательными способностями тела. Излучение в объеме характеризуется интенсивностью лучистого потока I и объемной плотностью лучистой энергии и, а также их спектральными разложениями. В случае изотропного излучения они связаны соотношением Освещенность Е определяется как полный лучистый поток через единичную площадку со всех направлений (из телесного угла ); в случае изотропного излучения выполняются соотношения

Спектральные плотности освещенности Е обозначим Пересчет от одной спектральной характеристики к другой обсуждается в разд. 5.1.

Поглощательная способность. Закон Кирхгофа. Поглощательной способностью тела называется доля падающей лучистой энергии, поглощенная телом (для узкого интервала длин волн или частот):

Тело, для которого во всем спектральном интервале, называется абсолютно черным телом. Моделью черного тела может служить замкнутая полость с небольшим отверстием; почти все лучи, попадающие в полость через отверстие, в результате многократных отражений от внутренних стенок оказываются поглощенными. Тело, У которого называют серым.

Так как равновесное излучение находится в равновесии с поверхностью, то для любого спектрального интервала количество поглощенной лучистой энергии, равное ехах должно быть равно количеству излученной энергии, равному Поскольку характеристики

равновесного объемного излучения не зависят от свойств конкретного тела, то отношение излучательной способности любого тела к его поглощательной способности оказывается универсальной функцией длины волны и температуры (закон Кирхгофа):

Поскольку для абсолютно черного тела поглощательная способность равна единице, то стоящая справа функция есть не что иное, как излучательная способность абсолютно черного тела, которую обозначим

Видно, что излучательная способность абсолютно черного тела и его энергетическая светимость не зависят от способа его изготовления; они связаны с объемной плотностью энергии соотношениями

При одной и той же температуре абсолютно черное тело обладает самой большой излучательной способностью и энергетической светимостью. Например, для серого тела . Отметим, что поскольку равновесное излучение изотропно, черное тела является ламбертовским источником (см. разд. 5.1).

Законы Стефана — Больцмана и Вина. Излучательная способность абсолютно черного тела при данной температуре стремится к нулю при малых и больших А и достигает максимального значения при некоторой длине волны которая зависит от температуры. Площадь под кривой равна энергетической светимости Применение к равновесному излучению в полости общих соотношений термодинамики позволило получить для него ряд общих соотношений. (Температура равновесного теплового излучения считается равной температуре стенок.) Закон Стефана — Больцмана утверждает, что энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени температуры:

где — постоянная Стефана — Больцмана.

Для вывода (21) надо воспользоваться выражением для давления изотропного излучения (см. разд. 2.5) и формулой которая является следствием второго начала термодинамики (разд. 2.3). Подставляя придем к уравнению откуда получим Кроме того, из формулы для давления и из первого начала термодинамики

можно для равновесного излучения вывести уравнение адиабатического процесса: Отсюда с учетом и получим

Если рассмотреть медленное адиабатическое изменение объема излучения, заключенного в сосуд с зеркальными стенками, и применить к отражению света от движущегося зеркала формулу эффекта Доплера (см. разд. 4.4, 4.5), то удается доказать формулу Вина:

где — неизвестные функции, вид которых не может быть установлен в рамках термодинамики. Аналогичные выражения для имеют вид

Из формулы Вина (22) (или можно вывести закон Стефана —

Больцмана (21). Кроме того, из этих формул следует закон смещения Вина, выражающий зависимость положения максимума функции от температуры:

где — постоянная Вина. Например, при уменьшении температуры в два раза положение максимума функции становится в два раза ближе к началу координат, а сам максимум становится в восемь раз ниже (рис. 78); площадь под графиком уменьшается при этом в 16 раз.

Рис. 78.

Формула Рэлея — Джинса. Рэлей и Джинс предприняли попытку получить вид функции в рамках классической статистической физики. Они рассмотрели излучение в полости как ансамбль стоячих электромагнитных волн, случайным образом обменивающихся энергией со стенками и между собой. С точки зрения статистики, каждая независимая стоячая волна, имеющая некоторую частоту колебаний, эквивалентна осциллятору с такой же частотой. Вычисление энергии сводится к двум независимым вопросам:

1) Какое число осцилляторов (стоячих волн) приходится на интервал частот Ответ должен выражаться в виде функции которую называют плотностью состояний: где V — объем сосуда.

Для вычисления можно рассмотреть сосуд в форме прямоугольного параллелепипеда сторонами Граничные условия (например, требование, чтобы на границах находились узлы стоячих волн) приводят к условиям

Значит, в пространстве волновых векторов допустимые состояния соответствуют узлам решетки со сторонами и объемом ячейки Объем -пространства, соответствующий изменению величины волнового вектора от к до к равен, сферического слоя, отсекаемый первым квадрантом). Разделив на объем ячейки, получим число пространственно различных колебаний в интервале Необходимо также учесть дополнительные степени свободы (в случае электромагнитных волн — два возможных состояния поляризации), которые для общности учтем дополнительным множителем

Найдем число состояний на единицу объема:

Эта формула получена из граничных условий и имеет очень общий характер и многочисленные применения. Для перехода к и надо учесть соотношение Окончательно получим

2) Чему равна средняя энергия одного осциллятора? Классическая физика дает следующий ответ (см. разд. 2.2): каждому осциллятору, независимо от его частоты, надо приписать две степени свободы, и в соответствии с теоремой о равнораспределении энергии, средняя энергия каждого осциллятора должна быть равна , где k — постоянная Больцмана.

В результате таких рассуждений классическая физика приводит к формуле Рэлея—Джинса:

Опыт показывает, что формула Рэлея — Джинса хорошо выполняется на малых частотах (при и но абсолютно неверна на больших (рис. 78). Действительно, хотя (27) удовлетворяет требованиям, налагаемым на любую возможную функцию формулой Вина (23), но сразу видно, что полученная функция не имеет максимума; она монотонно возрастает, и интеграл т.е. полная энергия излучения, равен бесконечности! Эта ситуация стала одним из признаков глубокого кризиса классической физики и была названа современниками ультрафиолетовой катастрофой.

Формула Планка. Теорема о равнораспределении энергии является следствием того, что классическая энергия осциллятора, пропорциональная квадрату его амплитуды, может принимать любые, в

том числе очень маленькие значения. Согласно квантовой гипотезе Планка энергия осциллятора (отсчитываемая от минимального значения) может принимать только дискретные значения, кратные некоторой величине, зависящей от частоты осциллятора:

Для вычисления средней энергии можно использовать формулу Максвелла—Больцмана (см. разд. 2.5), согласно которой вероятность состояния с энергией пропорциональна . Получаем

Ряд в знаменателе есть просто сумма геометрической прогрессии, а числитель получается из знаменателя дифференцированием по Проведя вычисления, имеем

Сравнение с формулой Вина (23) показывает, что должна быть пропорциональна и:

где — универсальная постоянная, называемая постоянной Планка. Так как энергия кванта пропорциональна частоте осциллятора, то при данной температуре колебания высоких частот возбуждаются с очень малой вероятностью и их вклад в энергию излучения оказывается ничтожно малым. Это разрешает проблему ультрафиолетовой катастрофы.

После подстановки (30) в формулу для средней энергии получим формулу Планка для спектральной плотности энергии:

График этой функции приведен на рис. 78. Запишем формулу Планка также в переменных :

При формула Планка переходит в формулу Рэлея — Джинса (27). Из формулы Планка можно получить выражения для постоянных Стефана — Больцмана и Вина через универсальные постоянные:

Формула Планка очень хорошо согласуется с экспериментом во всем диапазоне частот.