8.2. Свойства определенного интеграла

1. Линейность. Если функции интегрируемы на отрезке то

для любых чисел

2. Аддитивность. Если с и функция интегрируема на то

3. Теорема об оценке. Если на имеют место неравенства , то

Пример 1. Из неравенств справедливых на отрезке [2, 11], вытекает оценка

4. Теорема о среднем. Если непрерывна на , то найдется (хотя бы одна) точка с такая, что

(число называется средним значением функции на ).

5. Теорема об интегрировании неравенств. Если на функции удовлетворяют неравенствам то

(в частности, если на , то и ).

6. Теорема о модуле интеграла. Если интегрируема на , то функция также интегрируема, причем

7. Интегрирование четных и нечетных функций по отрезку вида

8. Дифференцирование интеграла переменному верхнему пределу. Если непрерывна на , то функция дифференцируема на , причем Сказанное удобно записать в виде равенства

9. Формула Ньютона — Лейбница:

где — какая-нибудь первообразная для функции на

10. Интегрирование по частям. Если функции имеют на непрерывные производные, то

11. Замена переменной (подстановка) в определенном интеграле. Пусть функция непрерывна на , а функция имеет непрерывную производную на отрезке Пусть, кроме того, множество значений функции совпадает с , причем Тогда

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Сделаем подстановку При имеем а при имеем . В результате получим