6.3. Производная по направлению. Геометрические приложения

Производная по направлению. Говорят, что в некоторой области цлоскости задано скалярное поле, если каждой точке этой области сопоставлено определенное число Примерами скалярных полей могут служить поле температур, поле давлений и др. Линией уровня поля называют линию уровня задающей его функции (см. разд. 6.1). Такими линиями являются изотермы для поля температур, изобары для поля давлений и т. п.

Для изучения поведения поля в точке в направлении вектора следует через провести прямую с направляющим вектором а (ее уравнения и исследовать функцию Производная функции в точке (т.е. при характеризует скорость изменения поля в этой точке в направлении а. Если величину разделить на то получим производную по направлению а от данного скалярного поля в данной точке:

где

Градиентом скалярного поля называется вектор-функция

В каждой точке поля градиент ортогонален к линии уровня, проходящей через эту точку; он показывает направление наибольшего роста поля. При помощи градиента производная по направлению может быть записана в виде

Замечание. Все изложенное допускает очевидное обобщение на случай пространственного скалярного поля.

Геометрические приложения теории функций нескольких переменных. Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке где имеет вид

Вектор нормали к поверхности в этой точке:

Если поверхность задается неявно уравнением то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид

а вектор нормали к поверхности в этой точке

Пусть поверхность задается параметрически уравнениями

или, в векторной записи, где и пусть -точка поверхности, отвечающая значениям параметров Тогда вектор нормали к поверхности в точке можно найти по формуле

где все частные производные вычисляются в точке