1.6. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Преобразование координат. Одна прямоугольная система координат может преобразовываться в другую прямоугольную систему координат при помощи параллельного переноса и поворота. Координаты точки М в системе и координаты

той же точки М в системе связаны следующими соотношениями:

1) при параллельном сдвиге осей и переносе начала координат О в точку

2) при повороте осей на угол вокруг начала координат

Общее уравнение кривой второго порядка

при переходе к подходящей новой системе координат упрощается и приводится к одному из двух следующих видов:

В зависимости от полученных значений первому из этих уравнений соответствует либо эллипс, либо гипербола, либо пара пересекающихся прямых, либо точка, либо пустое множество, а второму — либо парабола, либо пара параллельных прямых, либо одна прямая, либо пустое множество.

Искомое преобразование производится в два этапа. На первом этапе с помощью поворота освобождаемся от члена, содержащего произведение координат. Угол поворота определяется формулой если при имеем . На втором этапе при помощи параллельного переноса приходим к одному из двух упомянутых уравнений.