4.2. Первая и вторая задачи динамики

В уравнения движения (см. разд. 4.1) неизвестные могут входить как в левые, так и в правые части. В зависимости от этого задачи динамики делятся на два типа, которые рассмотрены ниже.

Первая задача динамики. Задан закон движения и активные силы, необходимо найти силы реакций связей.

Пример 1. Пэуэ веса которому в момент времени была сообщена некоторая начальная скорость, поднимается по наклонной шероховатой плоскости (рис. 27). Определить величины сил трения и нормального давления , действующих на тело, если известны коэффициент трения о плоскость и угол наклона а.

Рис. 27.

Решение. Введем декартовы оси координат, совместив начало отсчета О с положением груза при Изобразим груз в произвольном положении и действующие на него силы. Принимая груз за материальную точку, запишем для него второй закон Ньютона

Проектируя обе части векторного равенства (2) на ось у, имеем (учтено, что ускорение груза параллельно оси Отсюда находим а. Используя далее закон Кулона (уравнение (3) в гл. 3), получим силу трения

Вторая задача динамики. Заданы активные силы, уравнения механических связей, начальное положение точки и ее начальная скорость, необходимо найти закон движения точки и реакции связей.

Вторую задачу динамики рекомендуется решать последовательно в несколько этапов, перечисленных ниже.

1. Рисуют предполагаемую траекторию движения, на которой изображают материальную точку.

2. Рисуют силы, приложенные к точке.

3. Записывают второй закон Ньютона в векторной форме.

4. Выбирают удобную систему координат.

5. Записывают уравнения движения точки в проекциях либо на оси декартовой системы координат, либо на оси естественного трехгранника. В первом случае все активные силы необходимо выразить через а во втором — через

6. К полученным дифференциальным уравнениям добавляют начальные условия: значения координат и проекций скорости точки в начальный момент времени (они берутся из условия задачи с учетом введенной системы координат).

7. Поставленную задачу решают численно или аналитически методами, известными из курса высшей математики.

Указанные этапы решения рекомендуется выполнять, не меняя порядка их следования.

Пример 2. Дополнительно к условиям задачи примера 1 дано, что в момент времени скорость груза стала равна половине начальной. Найти начальную скорость груза и путь пройденный им за время

Решение. Проектируем обе части векторного равенства (2) на ось Используя формулы , получим

Общее решение полученного дифференциального уравнения и выражение для скорости груза даются формулами (подробности их. получения опущены, а их правильность можно проверить путем дифференцирования)

Последние два соотношения должны быть справедливы в любой момент времени стало быть, и в начальный момент времени и в момент времени

т.е. соотношения будут удовлетворяться, если в них вместо будут подставлены сначала значения а затем После подстановок получим систему четырех уравнений

с четырьмянеизвестными решал которую, найдем искомые величины