5.5. Экстремумы. Точки перегиба

Минимумы и максимумы. Экстремумы. Если функция дифференцируема на интервале на то возрастает (соответственно убывает) на этом интервале.

Если существует такая окрестность точки что Для всех точек принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство то называется точкой минимума (максимума) функции

Точки минимума и максимума называются точками экстремума.

Точки, в которых производная не существует или обращается в нуль, называются критическими точками функции

Условия существования экстремума. Необходимый признак экстремума: каждая точка экстремума функции является критической точкой этой функции.

Достаточные условия экстремума.

1. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности критической точки и дифференцируема во всех точках этой окрестности, за исключением, быть может, самой точки Если при при то — точка максимума функции. Если при при , то — точка минимума.

Если сохраняет свой знак при всех то точка не является точкой экстремума.

2. Пусть функция раз дифференцируема в некоторой окрестности точки Тогда, если — четное, то при точка является точкой максимума, а при — точкой минимума. Если — нечетное, то не является точкой экстремума.

Наибольшее и наименьшее значения функции. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех точках этого отрезка за исключением, быть может, конечного числа точек. Тогда наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке находятся среди значений и значений в критических точках

Направление выпуклости графика функции. Говорят, что график дифференцируемой функции направлен выпуклостью вверх (выпуклостью вниз) на интервале если этот график в пределах указанного интервала лежит ниже (выше) любой своей касательной.

Если функция дважды дифференцируема на интервале то график этой функции направлен на рассматриваемом интервале выпуклостью вверх (вниз). (В отдельных точках интервала вторая производная может обращаться в нуль.)

Таким образом, чтобы найти интервалы, на которых график дважды дифференцируемой функции направлен выпуклостью вверх (вниз), нужно решить неравенство

Точкой перегиба графика функции называется точка в которой график функции переходит с одной стороны касательной на другую. В точке перегиба график функции меняет направление выпуклости.

Пусть функция имеет непрерывную вторую производную в некоторой окрестности точки Если и меняет свой знак при переходе через точку то точка является точкой перегиба.