2.5. Плоскость в пространстве

Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение

где

Любая плоскость в пространстве определяется уравнением вида (1). Если то плоскость проходит через начало координат; если (соответственно или ), то плоскость параллельна оси (соответственно оси х или оси ). Уравнение определяет плоскость, параллельную плоскости

Положение плоскости Р в пространстве полностью определяется точкой лежащей на этой плоскости, и перпендикулярным ей вектором (который называется нормальным вектором плоскости). При этом уравнение плоскости имеет вид

Уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной двум неколлинеарным векторам может быть записано в виде (2), где А, В, С — координаты вектора

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки не лежащие на одной прямой, имеет вид где А, В, С — координаты вектора Это уравнение можно записать с помощью определителя:

Пример. Составить уравнение плоскости проходящей через точку и перпендикулярной двум плоскостям

Решение. Нормальные векторы к плоскостям и параллельны плоскости Р. Вычислим

Плоскость Р описывается уравнением или

Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле

Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями

равен углу между их нормальными векторами и определяется соотношением

Условие параллельности плоскостей: тогда и только тогда, когда коллинеарны нормальные векторы т.е.

Условие перпендикулярности плоскостей: тогда и только тогда, когда , т. е.

Уравнение пучка плоскостей, проходящих через линию пересечения плоскостей имеет вид

(при любых конкретных значениях параметров это уравнение определяет плоскость, проходящую через линию пересечения плоскостей