9. Двойные и тройные интегралы

9.1. Определение и свойства двойного интеграла

Определение и свойства двойного интеграла. Пусть на плоскости задано ограниченное множество, которое можно поместить в некоторый круг минимального диаметра. Диаметр этого круга называется диаметром множества. Рассмотрим область на плоскости х, у. Разобьем на непересекающихся частей (ячеек). Максимальный из диаметров ячеек называется диаметром разбиения и обозначается — разбиение области на ячейки). Пусть в области задана функция Выберем в каждой ячейке по произвольной «опорной» точке и составим интегральную сумму где — площадь ячейки.

Если существует конечный предел сумм при и этот предел не зависит ни от вида разбиений ни от выбора «опорных» точек, то он обозначается и называется двойным интегралом от функции по области

Это означает, что для любого найдется такое, что для всех разбиений таких, что и любого выбора «опорных» точек будет выполняться неравенство (Если непрерывна в замкнутой области ?), то она интегрируема по этой области, т.е. двойной интеграл существует.)

Свойства двойного интеграла.

1. Линейность. Если функции интегрируемы по области то

где a и b — некоторые числа.

2. Аддитивность. Если интегрируема по каждой из областей не имеющих общих внутренних точек, то

3. Теорема об оценке. Если в области выполняются неравенства , то

где — площадь области

4. Теорема о среднем. Если непрерывна в области то найдется хотя бы одна внутренняя точка такая, что

Число называется средним значением функции в области

5. Интегрирование неравенств. Если в области то

В частности, если в то .

6. Теорема о модуле интеграла:

Геометрический смысл двойного интеграла. Пусть функция неотрицательна при Тогда двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, основанием которого служит область плоскости и которое сверху ограничено поверхностью