9.5. Вычисление тройного интеграла. Некоторые приложения

Использование повторных интегралов.

1. Рассмотрим тело ограниченное сверху поверхностью а снизу — поверхностью проекцией которого является область на плоскости х, у. Другими словами, область задается условиями Тогда

2. Если область плоскости описывается неравенствами то

Замена переменных в тройном интеграле. Пусть непрерывно дифференцируемые функции осуществляют взаимно однозначное отображение области О пространства на область пространства а функция непрерывна в области Тогда

где — якобиан отображения О на

Для цилиндрических координат связанных с декартовыми координатами формулами якобиан

Для сферических координат имеем а якобиан

Некоторые геометрические и физические приложения тройного интеграла.

1. Объем области

2. Масса тела переменной плотности занимающего область

3. Координаты центра тяжести тела:

и и и

4. Моменты инерции тела относительно координатных осей:

где

В случае однородного тела в формулах следует положить