1.3. Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным называется такое движение твердого тела, при котором остается постоянным расстояние от любой его точки до некоторой неподвижной плоскости, которая называется основной.

Изучение плоскопараллельного движения сводится к исследованию движения плоской фигуры в ее плоскости. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси является частным случаем плоскопараллельного движения. Угол поворота плоской фигуры отсчитывается от некоторой неподвижной прямой до прямой, неизменно связанной с фигурой. Правило знаков для принимается такое же, как в случае вращения тела вокруг неподвижной оси.

Положение плоской фигуры полностью определено, если известны координаты некоторой ее точки (полюса, центра) Р и угол поворота. Соотношения

задающие три функциональные зависимости от времени, называются уравнениями движения плоской фигуры. Угловая скорость и и угловое ускорение вводятся аналогично случаю вращения тела вокруг неподвижной оси:

Теорема о скоростях точек плоской фигуры: скорость любой точки В плоской фигуры равна геометрической сумме векторов скорости полюса и скорости которую имела бы точка В при вращении фигуры вокруг неподвижного полюса Р (рис. 6):

Рис. 6.

Скорость перпендикулярна отрезку ее величина подсчитывается по формуле а направление согласовано с направлением дуговой стрелки и.

Точка плоской фигуры, скорость которой в рассматриваемый момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей. Если эту точку принять в качестве полюса, скорость произвольной точки В плоской фигуры определится по формуле Направление будет согласовано с направлением дуговой стрелки угловой скорости, а ее модуль найдется из формулы Скорости точек плоской фигуры в рассматриваемый момент времени будут распределены так же, как в случае вращения фигуры вокруг неподвижной оси, проходящей через мгновенный центр скоростей. Поэтому можно воспользоваться формулой (9) вращательного движения

Рис. 7.

На рис. 7 показаны варианты расположения мгновенного центра скоростей:

а) при качении без проскальзывания по неподвижной поверхности мгновенный центр скоростей находится в точке касания (рис. 7, а);

б) если то положение определяется построением, показанным на рис. 7, б;

в) если и отрезок не перпендикулярен то мгновенного центра скоростей нет, а скорости всех точек тела одинаковы в данный момент времени (рис. 7, в).

Пример. Найти в момент времени скорости точек А, В и С линейки эллипсографа, движение которого описано в примере из разд. 1.1.

Решение. Стержень совершает плоскопараллельное движение. Проводя перпендикуляры к направлениям скоростей точек А и В, найдем положение мгновенного центра скоростей (рис. 8). Угловую скорость изобразим дуговой стрелкой с учетом знака. Направим скорости точек А, В и С перпендикулярно прямым, соединяющим их с согласовав их направления с дуговой стрелкой угловой скорости. Величины скоростей найдем из соотношения

откуда

Рис. 8.

Теорема об ускорениях точек плоской фигуры: ускорение любой точки В плоской фигуры равно геометрической сумме векторов ускорения полюса и ускорения которое имела бы точка В при вращении фигуры вокруг неподвижного полюса Р:

Модули векторов и и их ориентация на плоскости следующие: и направлен к полюсу и согласован с направлением дуговой стрелки (рис. 9).

Если спроектировать векторное равенство (10) на два направления — параллельное и перпендикулярное получится система двух скалярных уравнений

в которых фигурируют семь величин . Если пять из них известны, то оставшиеся две могут быть найдены путем решения системы.

Рис. 9.

Мгновенным центром ускорений плоской фигуры называется неизменно связанная с ней точка ускорение которой в рассматриваемый момент времени равно нулю. Картина распределения ускорений точек плоской фигуры такая же, как при ее вращении вокруг неподвижной оси, проходящей через точку