12.3. Линейные уравнения n-го порядка

Линейное ДУ n-го порядка имеет вид

где — заданные функции.

Если и все коэффициенты и правая часть — непрерывные функции, то при любых начальных условиях решение уравнения (1) существует и единственно.

Если линейное уравнение (1) называется однородным, в противном случае — неоднородным. Для уравнения (1) часто используется краткое обозначение:

Частные решения. Каждое линейное однородное ДУ порядка имеет ровно линейно независимых частных решений таких решений, что ни одно из них не может быть выражено в виде линейной комбинации остальных (фундаментальная система решений). Заметим, что в случае однородного уравнения второго порядка линейная независимость частных решений равносильна условию

Пример 1. Линейное однородное уравнение имеет два частных решения которые линейно независимы, поскольку их отношение не является постоянной.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение линейного однородного порядка представляет собой линейную комбинацию его линейно независимых частных решений:

где — произвольные постоянные.

Пример 2. Найти общее решение

Решение. Общее решение этого линейного однородного уравнения является линейной комбинацией его частных решений, приведенных в примере 1. Поэтому

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Общее решение линейного неоднородного порядка равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения данного неоднородного уравнения:

Пример 3. Найти общее решение

Решение. Общее решение соответствующего линейного однородного уравнения приведено в примере 2. В качестве частного решения неоднородного ДУ можно взять функцию Поэтому общее решение данного линейного неоднородного уравнения имеет вид