3.5. Электростатика проводников

Поле в проводнике. Потенциал проводника. Проводником называется вещество, способное проводить электрический ток (или тело из такого вещества). Для этого вещество должно содержать свободные заряды, способные перемещаться по объему проводника. В электростатике рассматривается состояние, в котором заряды пришли в равновесие (т.е. отсутствует направленное движение зарядов — электрический ток). Это значит, что всюду в объеме проводника напряженность поля должна быть равна нулю. Отсюда следует, что:

1. Потенциал всех точек проводника имеет одинаковое значение, которое называют потенциалом проводника.

2. Для поля вне проводника поверхность проводника является эквипотенциальной. Линии напряженности перпендикулярны поверхности проводника.

3. Объемная плотность заряда в проводнике равна нулю (из теоремы Гаусса следует, что заряд в любом объеме внутри проводника равен нулю). Нескомпенсированные заряды распределены по поверхности проводника.

4. Напряженность поля вблизи поверхности проводника связана с поверхностной плотностью заряда на этом участке поверхности:

Эту формулу можно получить из теоремы Гаусса (16), если в качестве гауссовой поверхности взять маленький цилиндр, одно основание которого проходит вне проводника вблизи его поверхности, а другое — внутри проводника:

Уединенный проводник. Потенциал уединенного проводника пропорционален его заряду:

где С — электроемкость проводника, зависящая от его формы и размеров (и от диэлектрической проницаемости среды вокруг проводника). Электроемкость измеряется в СИ в фарадах в СГС — в см. Например, потенциал и электроемкость уединенного шара радиусом равны

Соединение проводников. При соединении проводников с различными потенциалами проводящей проволокой их потенциалы выравниваются. Если проводники расположены далеко друг от друга, то потенциал каждого из них можно рассчитывать как потенциал

уединенного проводника, и закон сохранения заряда позволяет найти потенциал составного проводника

(электроемкость проволоки можно считать пренебрежимо малой и ее заряд не учитывать). Если электроемкость одного из проводников очень велика, то его потенциал почти не меняется. Например, при соединении проводника с землей (заземлении) его потенциал становится равным постоянному потенциалу Земли, который принимают равным потенциалу на бесконечности (т.е. нулю).

Проводник во внешнем поле. При внесении любого проводника во внешнее поле свободные заряды перераспределяются таким образом, чтобы напряженность результирующего поля (суперпозиции внешнего поля и поля зарядов проводника) равнялась нулю внутри проводника. Например, если к незаряженному проводнику поднести положительный точечный заряд, то на ближней поверхности проводника соберутся отрицательные заряды, а на дальней — положительные, и заряд с проводником будут притягиваться. (Это явление называется электростатической индукцией.) Так как распределение зарядов на проводнике обычно не известно, то расчет по принципу суперпозиции применить невозможно. В некоторых случаях задачу удается решить косвенным путем.

Рис. 29.

Пример 1. Поднесем точечный заряд к поверхности заземленного проводника на расстояние а, малое по сравнению с размерами проводника. В этом случае конечный проводник можно заменить бесконечным полупространством из проводника (рис. 29). Напряженность поля отрицательных зарядов на поверхности проводника в каждой точке внутри проводящего полупространства компенсирует напряженность, создаваемую в этой же точке зарядом Значит, поле зарядов проводника точно совпадает (внутри проводника!) с полем воображаемого заряда помещенного в ту же точку, что и заряд Последний шаг: поле зарядов проводника вне проводника, симметричное относительно плоскости полю внутри проводника, точно совпадает с полем воображаемого заряда но расположенного симметрично заряду Этот воображаемый заряд называют «изображением» заряда а сам метод — методом электростатических изображений.

Теперь можно найти: а) силу притяжения заряда и проводника напряженность поля во всем пространстве вне проводника (она равна напряженности двух зарядов ; в) распределение зарядов на поверхности проводника — зная напряженность поля возле поверхности, по формуле (17) можно определить а.

Принцип единственности. При решении задач с неизвестным распределением заряда помогает принцип единственности, который можно сформулировать следующим образом: существует единственное распределение зарядов по поверхности проводников и единственное поле в пространстве между ними, при котором напряженность поля внутри проводников равна нулю, а потенциалы или заряды проводников имеют заданные значения. Поэтому, если удалось угадать такое распределение зарядов или такую конфигурацию поля, при котором эти условия выполняются, то это решение и будет правильным. Например, заметив, что эквипотенциальная поверхность для поля двух зарядов совпадает с их плоскостью симметрии (см. рис. 29), можно сделать вывод, что их поле с той стороны от этой плоскости, где находится заряд совпадает с полем заряда и проводящей плоскости (см. предыдущий пример).

Пример 2. Проводящий шар в однородном поле. Рассмотрим проводящий незаряженный шар в однородном поле Заряды на шаре распределятся так, чтобы создать внутри шара поле Чтобы подобрать такое распределение зарядов, рассмотрим два воображаемых шара такого же радиуса, но равномерно заряженных по объему, один — зарядом плотностью другой — плотностью (Поле такого шара было рассмотрено в примере 3 из разд. 3.4.) Если центр положительного шара смещен на малое расстояние по отношению к центру отрицательного (рис. 30), то в области их пересечения поле равно

т.е. является однородным. Плотность заряда внутри пересечения шаров равна нулю. Устремим теперь I к нулю, а к бесконечности, так чтобы . В итоге получим правильное распределение зарядов: где а также найдем поле, создаваемое зарядами проводящего шара вне шара: оно совпадает с полем точечного диполя с дипольным моментом (см. пример 4 из разд. 3.3).

Рис. 30.