3.2. Матрицы

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из строк и столбцов:

Числа называются элементами матрицы. Если матрица А называется квадратной, а число — ее порядком.

Для каждой квадратной матрицы А можно вычислить ее определитель, обозначаемый (или ).

Сумма матриц. Произведение матрицы на число. Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица, определяемая равенством

Произведением матрицы А на число а называется матрица

Произведение матриц. Произведение матрицы А на матрицу В определено в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получается матрица которой столько же строк, сколько их в матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В. Элемент матрицы-произведения, стоящий в строке и столбце, равен сумме произведений соответственных элементов строки матрицы А и столбца матрицы В:

Важно отметить, что в общем случае (т.е. матрицы нельзя переставлять).

Определитель произведения двух квадратных матриц одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц:

Миноры и ранг матрицы. Выделим в матрице к произвольных строк и к произвольных столбцов. Определитель порядка, составленный из элементов, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором порядка этой матрицы.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок миноров этой матрицы, отличных от нуля. Ранг матрицы А обозначается Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы принимается равным нулю. Ранг матрицы равен рангу системы векторов-столбцов и рангу системы векторов-строк матрицы А (см. разд. 3.4).

Ранг матрицы не меняется при следующих элементарных преобразованиях: замене строк столбцами, а столбцов — соответствующими строками; перестановке строк (столбцов) матрицы; умножении какой-либо строки (столбца) на число, отличное от нуля; вычеркивании строки (столбца), все элементы которой равны нулю; прибавлении к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).

Пример. Определить ранг матрицы

Решение. Вычтем из столбца сумму первых трех столбцов, а затем вычеркнем полученный 4-й столбец, все элементы которого равны нулю. Получим матрицу имеющую тот же ранг, что и матрица А. Так как то . Следовательно, и

Единичная и обратная матрицы. Квадратная матрица вида

называется единичной. Справедливы равенства и (если произведения матриц в левых частях определены).

Квадратная матрица А называется невырожденной, если , и обратимой, если можно подобрать такую матрицу , что Матрица В называется обратной матрицей к матрице А. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная. Обратимая матрица А имеет только одну обратную матрицу, которая обозначается и вычисляется по формуле

где — алгебраическое дополнение элемента определителя матрицы А (см. разд. 3.1.).