12.4. Решение линейных однородных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами

Линейное однородное ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

где — постоянные числа,

Для решения составляют характеристическое уравнение

и находят его корни При этом могут представиться следующие случаи.

Все корни характеристического уравнения действительны и различны. В этом случае однородное имеет линейно независимых частных решений так что его общее решение имеет вид

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни Поэтому общее решение исходного ДУ дается формулой

Некоторый действительный корень характеристического уравнения имеет кратность Этому корню отвечают линейно независимых частных решений вида линейная комбинация которых (вместе с остальными частными решениями) даст общее решение однородного уравнения:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Здесь характеристическое уравнение или имеет корни (двукратный корень), Поэтому общее решение исходного ДУ дается формулой

Характеристическое уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней При построении общего решения этой паре отвечают два частных, решения однородного уравнения Они не пропорциональны и, следовательно, линейно независимы.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение может быть записано в виде и имеет корни Общее решение исходного ДУ дается формулой

Некоторая пара комплексно сопряженных корней имеет кратность . Такой паре отвечают линейно независимых частных решений однородного уравнения:

Их линейная комбинация (вместе с остальными частными решениями линейного однородного порядка) дает общее решение исходного уравнения.