10.3. Поверхностный интеграл первого рода

Определение. Пусть в точках гладкой поверхности задана функция Произведем разбиение этой поверхности на ячеек, не имеющих общих внутренних точек. Диаметром разбиения называется максимальный из диаметров ячеек (см. разд. 9.4). Выберем в каждой из ячеек произвольную «опорную» точку и составим интегральную сумму где — площадь ячейки.

Если существует конечный предел сумм при (не зависящий ни от вида разбиений ни от выбора «опорных» точек), то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции и обозначается

Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

1. Если поверхность задана уравнением то

2: Если поверхность задана векторным уравнением , то

где вектор нормали к поверхности.

Приложения поверхностного интеграла первого рода.

1. Масса материальной поверхности с поверхностной плотностью

2. Координаты центра тяжести материальной поверхности :

Постоянной поверхностной плотности соответствует