3.2. Условия уравновешенности систем сил, приложенных к твердому телу

Уравнения равновесия твердого тела. Для того чтобы система сил, приложенных к твердому телу, была уравновешенной, необходимо и достаточно, чтобы были равны нулю ее главный вектор и главный момент относительно какого-либо центра

Условия уравновешенности системы сил, приложенных к твердому телу, в координатной форме получаются из векторных уравнений (1) и имеют вид системы шести уравнений

Верхние три уравнения называются уравнениями проекций сил на координатные оси; они отражают тот факт, это при равновесии твердого тела алгебраическая сумма проекций всех сил, приложенных к телу, на каждую координатную ось должна быть равна нулю. Нижние три уравнения называются уравнениями моментов сил относительно координатных осей. Эти уравнения указывают на то, что при равновесии тела алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно каждой координатной оси должна быть равна нулю.

Система уравнений (2) называется основной системой уравнений равновесия твердого тела, находящегося под действием произвольной системы сил. Существуют другие формы системы уравнений равновесия, каждая из которых состоит из шести уравнений. При использовании таких систем приходится следить за выполнением условий, накладывающих ограничения на выбор осей, относительно которых вычисляются суммы моментов сил.

В каждой задаче о равновесии твердого тела или конструкции, состоящей из нескольких тел, кроме заданных величин, имеются величины, которые необходимо найти в процессе решения. Задача о равновесии называется статически определимой, если она решается до конца методами статики. В этом случае необходимо, чтобы число неизвестных не превышало числа уравнений равновесия. Задача называется статически неопределимой, если ее нельзя решить, пользуясь только уравнениями статики. Поэтому задача о равновесии одного тела, содержащая семь и более неизвестных, заведомо является статически неопределимой.

Частные случаи уравнений равновесия твердого тела. В частных случаях расположения сил одно или несколько уравнений системы (2) могут обращаться в тождества. Например, если все силы перпендикулярны координатной оси в тождество обращается уравнение проекций на ось и число уравнений равновесия уменьшается в этом случае до пяти; если линии действия всех сил пересекают ось у, в тождество обращается уравнение моментов относительно оси у.

Ниже рассмотрены системы сил, равновесие которых описывается тремя уравнениями равновесия.

Система сил называется сходящейся, если линии действия сил пересекаются в одной точке. Выберем начало координат в этой точке. Уравнения моментов основной системы (2) обращаются в тождества, а оставшиеся три

образуют систему уравнений равновесия.

Система сил называется плоской, если силы располагаются в одной плоскости. Направим координатные оси так, чтобы все силы оказались в плоскости в этом случае третье, четвертое и пятое уравнения основной системы (2) обращаются в тождества, оставшиеся три

образуют систему уравнений равновесия плоской системы сил. Здесь уравнение моментов относительно оси записано в иной, эквивалентной форме: в данном случае векторы моментов перпендикулярны плоскости действия сил, если центр расположен в той же плоскости. Поэтому можно рассматривать момент силы относительно центра как скалярную величину. В правой системе координат момент считается положительным, если сила стремится повернуться вокруг центра против хода часовой стрелки.

В случае плоской системы сил можно пользоваться другими формами уравнений равновесия. Одна из них:

где — любые точки плоскости, для которых отрезок неперпендикулярен оси х.

Еще одна форма уравнений равновесия:

где — любые точки плоскости, не лежащие на одной прямой.

Совокупность сил называется системой параллельных сил, если линии действия сил параллельны. Ось z направим параллельно линиям действия. Первое, второе и шестое уравнения системы (2) обращаются в тождества, оставшиеся

образуют систему уравнений равновесия тела, находящегося под действием параллельных сил.