7.3. Интегрирование по частям. Метод замены переменной
Интегрирование по частям — это интегрирование по формуле
Этот метод позволяет вычислять интегралы следующих видов:
где
— многочлен.
Для интегралов типа А) в формуле (1) полагаем
а для интегралов типа В) полагаем
Пример 1. Вычислить интеграл
Решение. Полагая
находим
Поэтому
Пример 2. Вычислить интеграл
Решение. Полагая
находим
Поэтому
С помощью интегрирования по частям можно вычислять интегралы вида
где
— многочлен, а также ряд других интегралов.
Метод замены переменной. Замена переменной (иногда называемая также подстановкой) состоит в том, что вместо переменной х в подынтегральное выражение
вводится функция
. В результате получим
причем в случае удачно подобранной замены последний интеграл проще исходного.
Пример 3. Вычислить интеграл
Решение. Сделаем замену
Тогда
Пример 4. Вычислить интеграл
Решение. Сделаем замену
Тогда
Поэтому
В разд. 7.4—7.6 указаны типичные замены, позволяющие вычислять некоторые более сложные - интегралы.