11.3. Степенные ряды

Интервал сходимости степенного ряда. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

(постоянные называются коэффициентами степенного ряда), а также ряд более общего вида

где — постоянное число. Ниже рассматриваются только степенные ряды первого вида, поскольку второй ряд преобразуется в первый заменой

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при некотором то он абсолютно сходится при всех х, удовлетворяющих неравенству Если ряд расходится при то он расходится при всех х, для которых

Существуют степенные ряды, которые сходятся при всех значениях х (например, ряд ). Есть ряды, сходящиеся только при (например,

Если степенной ряд при некоторых сходится, а при остальных расходится, то из теоремы Абеля вытекает существование числа такого, что при степенной ряд сходится (причем абсолютно), а при — расходится. Это число называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал — интервалом сходимости. На концах интервала сходимости вопрос о сходимости ряда исследуется отдельно в каждом конкретном случае. Если степенной ряд сходится только при то интервал сходимости вырождается в точку (при этом если ряд сходится при всех х, то

Для нахождения радиуса сходимости можно применять признаки Даламбера и Коши.

Пример. Для ряда имеем и по признаку Даламбера ряд сходится абсолютно при т.е. в интервале и расходится вне этого интервала (радиус сходимости На концах интервала при получаем расходящийся числовой ряд

Свойства степенных рядов. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, степенной ряд сходится равномерно.

Поэтому степенные ряды в интервале сходимости обладают всеми перечисленными в разд. 11.2 свойствами равномерно сходящихся функциональных рядов. Особо отметим, что степенной ряд внутри его интервала сходимости можно дифференцировать почленно любое число раз; сумма степенного ряда — функция, имеющая внутри интервала сходимости производные любого порядка.

Степенные ряды Тейлора и Маклорена. Пусть функция бесконечно дифференцируема в окрестности точки Рядом Тейлора для этой функции называется степенной ряд вида

где использованы обозначения

Частным случаем ряда Тейлора (при является ряд Маклорена:

Формально записанный ряд Тейлора (Маклорена) для функции может:

1) расходиться при

2) сходиться в некоторой окрестности точки к функции, не совпадающей с

3) сходиться в некоторой окрестности точки к функции . В последнем случае говорят, что разлагается в ряд Тейлора в упомянутой окрестности, и пишут

Необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора состоит в том, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при в рассматриваемой окрестности.

Для разложимости функции в ряд Тейлора в окрестности достаточно, чтобы в этой окрестности все производные по абсолютной величине были ограничены одной и той же постоянной, т. е. для всех где М — некоторое число.

Единственность разложения функции в степенной ряд. Если функция представляется в виде суммы степенного ряда, то его

коэффициенты определяются единственным образом (поскольку этот ряд является рядом Тейлора для так что его коэффициенты равны где Поэтому в задачах о представлении функции степенным рядом ответ не зависит от выбранного метода решения.

Разложения некоторых функций в ряды Маклорена. При решении различных задач часто используются следующие разложения элементарных функций в ряды Маклорена:

(см. скан)

Первые пять рядов сходятся при всех значениях — а остальные имеют радиус сходимости . Ряд, стоящий в правой части последней формулы, называется биномиальным. Приведем один частный случай этого ряда:

При применении вышеприведенных формул для получения разложения заданной функции в ряд легко выясняется область сходимости ряда, отпадает необходимость привлечения признаков разложимости и автоматически получается выражение для общего члена ряда. Так, для получения разложения функции в ряд по степеням х нужно лишь заменить в последнем разложении аргумент х на