5.3. Дифракция

Принцип Гюйгенса — Френеля. Дифракцией называются отклонения от закона прямолинейного распространения света. Приближенный расчет интенсивности света после препятствий или отверстий в экране опирается на принцип Гюйгенса — Френеля, который дополняет геометрическое построение Гюйгенса (см. разд. 5.1) условием интерференции вторичных лучей. Согласно этому принципу, все точки произвольной поверхности, окружающей источники волн, являются источниками когерентных вторичных волн, а амплитуда колебаний волны в произвольной точке вне этой поверхности может быть получена как результат интерференции вторичных волн. Обычно в качестве такой поверхности выбирают фронт волны, тогда источники вторичных волн синфазны. Амплитуда вторичной волны пропорциональна амплитуде первичной волны и площади участка поверхности:

где — (комплексная) амплитуда первичной волны в точках фронта, — угол между направлением излучения и нормалью к поверхности, — расстояние от фронта вторичных источников до точки наблюдения, — медленно убывающая функция

Зоны Френеля. Рассмотрим излучение точечного источника света.

В качестве поверхности вторичных волн выберем сферу радиусом а и изучим вклад различных участков сферы в колебания волны в точке В, находящейся на расстоянии а от источника (рис. 70). Из точки В

Рис. 70.

радиусами засечем на сфере две окружности. Из теоремы косинусов в получим Значит, величина не зависит от т.е. вклады от участков, соответствующих одинаковым изменениям длины пути одинаковым приращениям фазы имеют одинаковые амплитуды Следовательно, векторная диаграмма складывающихся колебаний (рис. 71) имеет вид медленно закручивающейся спирали (с учетом медленного уменьшения Из соображений симметрии можно сделать вывод, что спираль сходится к центру окружности. Сумма всей спирали соответствует свободному распространению света в отсутствие экранов.

Часть поверхности от центра до точек, где называется первой зоной Френеля, от края первой зоны до — второй зоной Френеля, и т.д. Видно, что если открыть только первую зону Френеля, а все остальное закрыть экраном, то амплитуда колебаний будет в 2 раза больше, чем в отсутствие экрана, а интенсивность — в 4 раза больше. Если открыть две первые зоны, то амплитуда и интенсивность в точке В будут близки к нулю, и т.д.

Рис. 71.

Наоборот, если закрыть экраном небольшое число центральных зон Френеля, то это почти не скажется на интенсивности колебаний в точке В — она будет почти такой же, как и в отсутствие экрана (этот парадоксальный факт известен под названием «пятно Пуассона»). Чтобы понять, какие зоны будут закрыты или открыты в каждом конкретном случае, полезно знать радиус окружности , засекаемой из точки В радиусом-вектором При малых он имеет вид

Чтобы найти радиус зоны Френеля, надо подстачйть . Для плоского фронта волны, что соответствует предельному случаю а получим

Метод зон Френеля хорошо работает только при не очень большом числе зон Френеля. Этот метод сложно применить к точкам, лежащим в стороне от центра экрана. Дифракционные эффекты про падают при , т.е. при

Дифракция Фраунгофера от щели. Дифракцией Фраунгофера называют дифракцию в параллельных лучах, т.е. когда разность

фаз вторичных волн, исходящих от различных точек рассматриваемого участка волнового фронта, можно найти в предположении их параллельности. В этом приближении дифракционная картина упрощается, и можно рассчитывать интенсивность света в разных точках экрана. Приближение Фраунгофера действует в двух случаях: во-первых, если лучи света после дифракции собираются линзой в ее фокальной плоскости, и во-вторых, если экран удален от дифракционного отверстия на достаточно большое расстояние

Рассчитаем в приближении Фраунгофера дифракцию плоской монохроматической волны на щели шириной Ограничимся изучением нормального падения волны на экран с щелью; в этом случае все точки щели являются источниками вторичных синфазных волн. Разобьем плоскость щели на большое число одинаковых узких полосок (рис. 72). Амплитуда света от каждой полоски равна где — амплитуда света, посылаемого щелью в направлении (в этом случае все полоски излучают свет синфазно). При излучении в направлении, составляющем угол в с нормалью, разность фаз между излучением соседних полосок равна разность фаз между крайними полосками равна Используя выражение (9) для интерференции источников, получим амплитуду излучения щели в направлении в надо заменить на

Рис. 72.

Интенсивность излучения, равная а также характерные векторные диаграммы изображены на рис. 73. Условие минимумов излучения имеет вид:

Условие максимумов: Максимумы интенсивности относятся как Максимальный порядок спектра определяется условием

Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии. Разрешающая способность оптических приборов. В случае дифракции на круглом отверстии распределение интенсивности имеет вид концентрических темных и светлых кругов вокруг центрального светлого пятна. Распределение интенсивности при малых углах в с осью отверстия выражается через функцию Бесселя первого порядка: где — диаметр отверстия. Внешне угловое

Рис. 73.

распределение интенсивности мало отличается от случая дифракции на щели; первый минимум соответствует углу

Угол можно считать углом дифракционного расширения пучка света. Расплывание пучка будет слабым на расстояниях удовлетворяющих условию: или Это неравенство является условием применимости геометрической оптики (см. разд. 5.1).

При наблюдении в оптический прибор (линза, телескоп) двух близких точек они будут изображаться на экране в виде маленьких дифракционных кружков. Условно считается, что изображения точек неразличимы, если они сблизились настолько, что центральный максимум одного кружка совпал с первым минимумом другого (критерий Рэлея). Значит, угловое разрешение таких приборов выражается формулой

Этот предел возможного разрешения прибора накладывается волновой природой света и не может быть превзойден никакими техническими усовершенствованиями.

Дифракционная решетка. Дифракционной решеткой называется последовательность из большого числа одинаковых параллельных щелей. Ширина каждой щели равна 6, расстояние между соседними щелями, которое называют периодом решетки, равно (рис. 74). Каждая щель излучает в направлении в свет, амплитуда которого определяется выражением (11). Разность фаз между соседними щелями равна и для вычисления итоговой амплитуды можно опять воспользоваться формулой (9) для суммы колебаний независимых источников:

Рис. 74.

Главные максимумы дифракционной решетки определяются условием

В направлении главных максимумов интенсивность излученной волны полностью определяется интенсивностью излучения отдельной щели в этом направлении. Если главный максимум окажется вблизи минимума определяемого условием то этот максимум окажется подавленным. Максимальный порядок спектра определяется условием

Между каждыми двумя главными максимумами дифракционная картина содержит минимум и добавочных максимума. Минимумы определяются условиями Интенсивность добавочных максимумов гораздо меньше, чем главных, и при большом числе штрихов их можно не учитывать.

При падении света на решетку под углом условие главных максимумов приобретает вид:

Для грубых решеток эффективным оказывается использование скользящих лучей для которых условие главных максимумов приобретает вид: Видно, что роль эффективного периода в этом случае играет малая величина

Дифракционная решетка как спектральный прибор. Свойства любого спектрального прибора определяются его угловой дисперсией, дисперсионной областью и разрешающей способностью.

Угловой дисперсией называется производная где, — положение главного максимума порядка. Из условия главного максимума получим

Дисперсионной областью называется максимальная ширина спектрального интервала, при которой еще нет перекрытия спектров соседних порядков. Из уравнений имеем Видно, что для исследования широких участков спектра надо применять низкие порядки.

Разрешающей, способностью называется отношение , где — наименьшая разность длин волн, которые может разрешить спектральный прибор. Две линии считаются разрешенными, если максимум одной линии попал на минимум другой (критерий Рэлея). Из уравнений получим т.е.

Дифракция рентгеновских лучей на кристалле. Длина волны рентгеновских лучей сравнима с расстоянием между атомами кристаллической решетки, которая для падающих лучей представляет собой пространственную дифракционную решетку. Условие дифракционных максимумов состоит в одновременном выполнении трех уравнений (14) для трех взаимно перпендикулярных кристаллических осей (условия Лауэ):

где — углы с осями, связанные условием Эти три уравнения нельзя одновременно удовлетворить при произвольно выбранном направлении падающего луча и заданной длине волны. Это значит, что при облучении кристалла монохроматическими, но рассеянными рентгеновскими лучами (т.е. имеющими всевозможные направления) возникают дифракционные максимумы во вполне определенных направлениях. Анализ получающихся лауэограмм позволяет получать информацию о строении кристалла. Дифракционные максимумы отсутствуют, если превышает все периоды решетки; для видимого света кристалл можно считать однородной средой.

Отражение рентгеновских лучей от поверхности кристалла можно также рассматривать как интерференцию лучей, отраженных от системы последовательных атомных плоскостей в кристалле. По аналогии с интерференцией в тонких пленках (см. разд. 5.2), разность хода между лучами, отраженными от соседних плоскостей, равна где в — угол между падающим лучом и атомной плоскостью (не с нормалью!), a d — межплоскостное расстояние. (Отметим, что показатель преломления рентгеновских лучей мало отличается от единицы, см. разд. 5.5.) Отражение наблюдается только в направлениях дифракционных максимумов, удовлетворяющих условию Вульфа — Брегга:

где — порядок дифракционного максимума.