4. Основные понятия математического анализа

4.1. Числовые множества. Понятие функции

Числовая ось. Интервалы. Числовой осью называется прямая, на которой выбрано направление, указано начало отсчета О и единица масштаба. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек числовой оси, при котором каждое действительное число х изображается точкой, отстоящей от О на расстояние вправо, если и влево, если

Среди числовых множеств, т.е. множеств действительных чисел (или множеств точек числовой оси), выделяют следующие.

1) Множества вида состоящие из всех таких чисел для которых соответственно — любое число. Такие множества называются (открытыми) интервалами.

2) Множества вида состоящие из тех для которых а замкнутые интервалы или отрезки.

3) Множества вида состоящие из таких чисел что а — полуоткрытые интервалы.

Окрестностью точки называется любой открытый интервал содержащий точку Окрестностью «точек» называются соответственно множества вида (здесь ).

Способы задания функции. Пусть — некоторое множество действительных чисел. Если каждому числу х поставлено в соответствие некоторое число то говорят, что на множестве

определена функция Множество называется областью определения, а множество Е всех элементов вида множеством значений функции Для функционального соответствия приняты обозначения .

Функцию можно задавать многими способами (табличным, графическим и др.). Наиболее распространенным и удобным является аналитический способ, т.е. задание функции при помощи формулы (или нескольких формул), зависящей от аргумента например, Неявное задание функции состоит в задании уравнения из которого при произвольном фиксированном значении аргумента х вычисляется значение функции у. Параметрическое задание функции состоит в задании аргумента х и значения у в виде формул, зависящих от вспомогательной переменной (параметра):

Монотонные функции. Функция называется возрастающей (неубывающей) на множестве если для любых при имеем Функция называется убывающей (невозрастающей) на множестве если для любых при справедливо неравенство Убывающие и возрастающие функции называются монотонными.

Сложная и обратная функции. Пусть заданы функция с множеством значений Е и функция Тогда функция называется сложной функцией или суперпозицией функций .

Пусть на множестве определена функция где Обратной функцией по отношению к называется такая функция которая определена на множестве Е и каждому ставит в соответствие такое что Обратную функцию часто обозначают

Для монотонных функций обратная функция всегда определена и справедливо тождество: Для того чтобы получить обратную функцию следует из равенства выразить х через у.