1.10. Динамика твердого тела

Вращение вокруг неподвижной оси. Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения (см. разд. 1.6) равен

где — расстояние от точки до оси вращения, и мы использовали соотношение Направление проекции совпадает с направлением т.е. определяется по правилу буравчика. Величина

называется моментом инерции твердого тела относительно оси Продифференцировав (37) по времени и учтя, что где — момент внешних сил относительно оси вращения (уравнение (25)), получим

где — угловое ускорение. Это уравнение называют основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Вычислим еще кинетическую энергию вращающегося твердого тела:

и работу внешней силы при повороте тела:

где

Пример 1. К концу нити, намотанной на блок с моментом инерции I и радиусом Я, привязали тело массой и отпустили. Найти угловое ускорение тела.

Решение. Запишем второй закон Ньютона для тела: и уравнение (39) для блока: Учтем также кинематическое соотношение Решая эти уравнения, получим

Свойства момента инерции. Момент инерции (38) — скалярная аддитивная величина, характеризующая распределение массы тела по отношению к оси. Из уравнений (39), (40) видно, что момент инерции является мерой инертности твердого тела по отношению к вращательному движению, т.е. играет ту же роль, что масса для поступательного движения.

Пример 2. Вычислить момент инерции однородного диска массой и радиусом Я относительно оси симметрии.

Решение. Разбив диск на тонкие круговые полоски и интегрируя, получим

Такой же ответ верен и для сплошного однородного цилиндра.

Теорема Штейнера связывает момент инерции относительно произвольной оси с моментом инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс твердого тела:

где — масса тела, а — расстояние между осями. Например, момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его край, равен Минимальный момент инерции среди всех параллельных осей получается для оси, проходящей через центр масс.

Теорема о взаимно перпендикулярных осях: момент инерции плоского тела относительно произвольной оси перпендикулярной его плоскости, равен сумме моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей х и у, лежащих в плоскости тела и пересекающихся с осью

Например, момент инерции тонкого диска относительно оси симметрии, лежащей в его плоскости, равен

Приведем моменты инерции некоторых тел различной формы.

1) Тонкий обруч (относительно оси симметрии): Такой же момент инерции имеет тонкостенный цилиндр (без торцов).

2) Тонкий стержень длиной (относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через его середину): Такой же момент инерции имеет плоский прямоугольник относительно оси, проходящей через середины противоположных сторон длиной Относительно края стержня момент инерции равен

3) Плоский прямоугольник относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его центр: Такой же момент инерции имеет прямоугольный параллелепипед относительно оси, проходящей через середины противоположных граней.

4) Тонкая сфера относительно оси симметрии:

5) Однородный шар относительно оси симметрии:

6) Цилиндрический слой с внутренним радиусом и внешним

Плоское движение твердого тела. Плоское движение есть суперпозиция поступательного движения центра масс и вращательного движения в системе центра масс (см. разд. 1.2). Движение центра масс описывается вторым законом Ньютона и определяется результирующей внешней силой (уравнение (11)). Вращательное движение в системе центра масс подчиняется уравнению (39), в котором надо учитывать только реальные внешние силы, так как момент сил инерции относительно центра масс равен нулю (аналогично моменту сил тяжести, пример 1 из разд. 1.6). Кинетическая энергия плоского движения равна уравнение Момент импульса относительно неподвижной оси, перпендикулярной плоскости движения, вычисляется по формуле (см. уравнение где — плечо скорости центра масс относительно оси, а знаки определяются выбором положительного направления вращения.

Пример 3. Требуется найти ускорение круглого тела, которое скатывается без проскальзывания по наклонной плоскости (рис. 10).

Решение. Уравнения движения имеют вид: Условие отсутствия проскальзывания приводит к уравнению (см. пример 1 из разд. 1.2). Решая уравнения, находим ускорение: Так как сила трения покоя работы не совершает, то механическая энергия сохраняется.

Рис. 10.

Пример 4. При упругом ударе шарика массой о край неподвижного стержня длиной и массой М, расположенного перпендикулярно его скорости, конечные скорости шарика и, центра стержня V и угловую скорость его вращения определяют из трех уравнений:

1) закона сохранения импульса:

2) закона сохранения энергии:

3) закона сохранения момента импульса (например, относительно точки удара):

Движение с неподвижной точкой. Угловая скорость вращения, направленная вдоль оси вращения, меняет свое направление как в пространстве, так и по отношению к самому твердому телу. Уравнение движения

которое называют основным уравнением движения твердого тела с неподвижной точкой, позволяетузнать, как изменяется момент импульса Так как вектор в общем случае не параллелен вектору то для

Рис. 11.

замыкания уравнений движения надо научиться связывать эти величины друг с другом.

Пример 5. При вращении наклонной гантельки вокруг вертикальной оси (рис. 11) момент импульса направлен перпендикулярно гантельке, он направлен под углом к оси вращения и сам вращается с угловой скоростью .

Проблему связи между решает теорема о главных осях инерции, утверждающая, что для любой точки тела существуют три взаимнодерпендикулярные оси, при врагцении относительно которых вектор параллелен оси вращения: Моменты инерции относительно этих осей называют главными моментами инерции. Если вращение происходит вокруг произвольной оси вращения, то, разложив угловую скорость по главным осям мы сможем вычислить момент импульса: (Аналогично, разложив вектор мы найдем вектор й.) Если главные оси проведены через центр масс (центр инерции) тела, то их называют свободными осями. При вращении вокруг любой из свободных осей сохраняются как импульс, так и момент импульса тела, т.е. для поддержания вращения к телу не надо прикладывать ни внешнюю силу, ни внешний момент сил. (В примере 5 результирующая сила равна нулю, но в точках крепления оси возникает пара сил, момент которых обеспечивает изменение со временем.) При свободном вращении устойчивым оказывается только вращение относительно двух свободных осей — с минимальным и максимальным главными моментами инерции.

Рис. 12.

Гироскопы. Гироскопом называют твердое тело, быстро вращающееся относительно своей оси симметрии. Задачу о движении оси гироскопа можно решать в гироскопическом приближении: оба вектора направлены вдоль оси симметрии. Уравновешенный гироскоп (закрепленный в центре масс) обладает свойством безынерционно его ось перестает двигаться, как только исчезает внешнее воздействие ( обращается в нуль). Это позволяет использовать гироскоп для сохранения ориентации в пространстве.

На тяжелый гироскоп (рис. 12), у которого центр масс смещен на расстояние от точки закрепления действует момент силы тяжедти, направленный перпендикулярно Так как то и ось гироскопа совершают регулярное вращение вокруг вертикальной оси (прецессия гироскопа).

Конец вектора вращается по горизонтальной окружности радиусом а с угловой скоростью

Угловая скорость прецессии не зависит от угла наклона оси а.