7.6. Интегрирование показательных и тригонометрических функций

Интегрирование показательных и гиперболических функций.

1. Интеграл вида где рациональная функция своих аргументов, — целые числа, вычисляется с помощью подстановки (Частный случай такого преобразования использован при решении четвертого примера в разд. 7.3.)

2. Интеграл вида вычисляется путем перехода от гиперболических функций к показательным по формулам

с последующей заменой

Интегрирование тригонометрических функций.

1. Интегралы вида

вычисляются при помощи формул

2. Интегралы вида — целые числа) вычисляются следующим образом.

При нечетном используется замена

При нечетном замена

Если обе степени — четные и неотрицательные, то применяются формулы понижения степени:

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Используя тригонометрические формулы, последовательно имеем:

Здесь была использована замена

3. Интегралы вида , где — рациональная функция своих аргументов, сводится к интегралам от рациональных дробей с помощью универсальной тригонометрической подстановки:

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Используя универсальную тригонометрическую подстановку имеем:

Если подынтегральное выражение зависит от или от удобнее применять подстановку