3.3. Электростатическое поле. Принцип суперпозиции для напряженности и потенциала

Электростатическое поле. Стационарное электрическое поле, создаваемое системой неподвижных зарядов, называется электростатическим полем. Напряженность электростатического поля может быть определена с помощью закона Кулона (2).

1. Поле точечного заряда. Если внести пробный заряд в поле точечного заряда то из (2) и (5) получим:

где Е (или ) — проекция на радиальное направление.

2. Поле системы зарядов. Используя принцип суперпозиции полей, имеем:

В случае непрерывного распределения заряда суммирование надо заменить интегрированием, см. (3). (Сравните с формулами для поля тяготения в разд. 1.8.)

Пример 1. Заряд равномерно распределен по дуге окружности радиусом с линейной плотностью (рис. 23). Угловой размер дуги равен Вычислить напряженность в центре окружности.

Решение. Напряженность направлена по оси х, проходящей через середину дуги и центр окружности. Напряженность поля, создаваемого в точке О элементом дуги с угловым размером равна где Проектируя на х и интегрируя, находим:

Пример 2. Поле отрезка. Заряд равномерно распределен по отрезку прямой с линейной плотностью . Вычислить напряженность поля в точке А, положение которой по отношению к отрезку задано расстоянием у до прямой и двумя углами (рис. 24).

Рис. 23.

Рис. 24.

Решение. Вклад в напряженность от элемента равен его проекции на оси х и у равны а. Интегрировать удобно по углу а после подстановки а и замены переменной: . Для проекций получим:

Если (точка А лежит на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка), то Если в этом равенстве а (прямая), то Если (полупрямая), то

Потенциал электростатического поля. Как и любое стационарное центральное поле, электростатическое поле является потенциальным (см. разд. 1.5). Это означает, что работа поля при перемещении пробного заряда из одной точки пространства в другую не зависит от траектории. Сказанное позволяет определить потенциал электростатического поля

где — работа поля при переносе пробного заряда из точки в точку — потенциальная энергия точечного заряда во внешнем электростатическом поле (в этой главе энергия будет обозначаться буквой Величина называется разностью потенциалов между точками Для однозначного определения надо выбрать точку, где они обращаются в нуль. В СИ потенциал измеряется в вольтах

Зная напряженность можно вычислить разность потенциалов и потенциал:

где — точка, в которой потенциал принят равным нулю. Зная потенциал можно найти проекцию напряженности на любое направление (исходя из (9) для двух близких точек):

и вектор напряженности:

Потенциал поля точечного заряда и системы зарядов.

Потенциал поля точечного заряда можно найти с помощью формулы (10):

Обычно потенциал принимают равным нулю на бесконечности. В этом случае:

Потенциал поля системы зарядов равен сумме потенциалов полей отдельных зарядов (принцип суперпозиции для потенциала):

Если заряд распределен непрерывно, суммирование надо заменить интегрированием.

Пример 3. Поле диска. Рассмотрим тонкий диск радиусом Я, равномерно заряженный с поверхностной плотностью о. Вычислить потенциал в точке А, расположенной на оси диска на расстоянии х от его центра (рис. 25).

Решение. Вклад в потенциал тонкого кольца, заключенного между окружностями радиусов равен

(все точки кольца расположены почти на одинаковом расстоянии от точки А). Интегрируя, находим потенциал кольца:

Рис. 25.

Затем с помощью (10) определим напряженность (она направлена вдоль ):

В пределе получим поле бесконечной плоскости:

Пример 4. Поле диполя. Требуется найти потенциал и напряженность электростатического поля вдали от диполя, изображенного на рис. 26.

Решение. Потенциал в точке, задаваемой радиусом-вектором на большом расстоянии от диполя равен:

где (см. разд. 3.1).

Чтобы найти напряженность, используем тождества: . В результате имеем:

Рис. 26.

Отсюда для модуля напряженности получим Такие же выражения верны для поля любой электронейтральной системы с отличным от нуля дипольным моментом (см. разд. 3.1) на большом от нее расстоянии.

Диполь во внешнем поле. Маленький диполь с дипольным моментом во внешнем поле обладает потенциальной энергией

Эта энергия изменяется как при повороте диполя — на диполь со стороны поля действует вращательный момент:

так и при перемещении диполя в неоднородном поле — на диполь действует сила:

Равновесная ориентация с минимальной энергией соответствует положению , ориентированный таким образом диполь втягивается в область более сильного электрического поля.