13.2. Приближенное решение алгебраических уравнений

Предварительные замечания. Для большинства алгебраических (трансцендентных) уравнений вида

где — непрерывно дифференцируемая функция, не существует точных аналитических формул, позволяющих найти его корни.

Приближенное решение данного уравнения на первом этапе состоит в отделении корней, т. е. определении промежутков (по возможности более узких), внутри которых находится только один корень. Такой промежуток обычно отыскивают графически, числа a и b удовлетворяют условию

На втором этапе вычисляют последовательные приближения искомого корня с: для чего чаще всего применяют следующие методы.

Метод касательных (метод Ньютона). Пусть на промежутке существуют и непрерывны производные и выполняются неравенства при всех

Если то в качестве первого приближения берем если то

Последующие приближения вычисляются по формулам

Практически погрешность приближения оценивается по формуле

где с — точное значение корня.

Метод хорд. Обозначим Приближение вычисляется по формуле

Вместо отрезка рассматривается отрезок если или отрезок если . В любом случае обозначим левый конец нового отрезка через а правый конец — через и вычислим следующее приближение по формуле

Рассуждая далее аналогично тому, как это делалось раньше, будем рассматривать отрезок и вычислим следующее приближение и т. д.

Будем считать, что после итераций вычислены приближения Тогда рассмотрим отрезок если или отрезок если Обозначим левый конец нового отрезка через а правый конец — через Вычислим приближение по формуле

Погрешность этого приближения можно оценить с помощью неравенства

где с — точное значение корня.