10.4. Поверхностный интеграл второго рода

Определение. Пусть — ориентированная поверхность, заданная уравнением — параметры). Ориентированность означает, что в каждой точке к поверхности восставлена нормаль непрерывно зависящая от М. Возможны два случая: а) поверхность ориентирована нормалью п(и, поверхность ориентирована нормалью, противоположной указанной. (Поверхность, заданную уравнением можно записать в векторном виде следующим образом:

Пусть векторное поле а задано на гладкой ориентированной поверхности Произведем разбиение поверхности на частей (ячеек), не имеющих общих внутренних точек. Выберем в каждой из ячеек произвольную «опорную» точку и составим интегральную сумму где — площадь ячейки, — единичный вектор нормали к поверхности в точке направленный в соответствии с выбранной ориентацией поверхности.

Если существует конечный предел сумм при (не зависящий ни от вида разбиений ни от выбора «опорных» точек), то он называется поверхностным интегралом второго рода (или потоком векторного поля а через ориентированную поверхность и обозначается

Отметим, что при изменении ориентации поверхности поверхностный интеграл второго рода меняет знак.

Вычисление поверхностного интеграла второго рода.

1. Если поверхность задана векторным уравнением

Знак плюс берется в случае, когда поверхность ориентирована нормалью знак минус — в противоположном случае.

2. Если поверхность задана уравнением то нормаль ориентирует поверхность «вверх», в направлении оси Тогда

где . Знак плюс берется в случае ориентации поверхности «вверх», знак минус — в противоположном случае.