6.2. Дифференцирование функций нескольких переменных

Для краткости ограничимся случаем функции двух переменных, однако все утверждения легко обобщаются на случай функций любого числа переменных.

Приращения и частные производные. Приращением функции в точке называется величина

где — приращения независимых переменных. Частными приращениями по х и по у называются соответственно величины

Частными производными функций z по х и по у в точке называются соответственно величины (при условии, что эти пределы существуют). Для них приняты обозначения: (иногда штрихи опускают).

Дифференцируемые функции. Дифференциал. Функция называется дифференцируемой в точке если ее приращение в этой точке представимо в виде

где — величина более высокого порядка малости по сравнению с при (т.е. при ). В этом случае в точке существуют частные производные, причем

Обратно, если функция имеет в точке непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке.

Дифференциалом функции называется величина

которую (полагая дифференциалы независимых переменных равными соответственно записывают также в виде

Соотношение при малых широко используется в приближенных вычислениях, в частности, при подсчете погрешности вычисления значений функции.

Пример 1. Пусть значения аргументов функции известны с погрешностью: Подсчитаем приближенно значение функции.

Решение. Имеем в точкех (при ). Поэтому можно считать .

Если функция дифференцируема в точке то

Отсюда при малых т. е. при получается приближенная формула

Замена функции таким линейным выражением вблизи данной точки называется линеаризацией.

Сложная функция. Пусть причем Пусть для функции принимают значения, при которых функция определена. Тем самым на множестве задается функция которая называется сложной функцией; при этом функция называется внешней, а — внутренними функциями.

Частные производные сложной функции находятся по формулам

Пусть причем Тогда в конечном счете, зависит только от Производная вычисляется по формуле

Эта производная (в отличие от частной производной ) называется полной производной.

Вторые частные производные и вторые дифференциалы.

Вторыми частными производными функции называются частные производные от ее первых частных производных. Их обозначают так:

Производные называются смешанными. Если в рассматриваемой точке смешанные производные непрерывны, то они равны в этой точке.

Аналогично определяются частные производные более высоких порядков.

Вторым дифференциалом функции называется выражение

Аналогично определяются и т. д.

Формула Тейлора. Если в точке функция имеет частные производные до порядка включительно, то ее приращение в данной точке можно записать в виде

Неявные функции и их дифференцирование. Уравнение имеющее решение определяет в окрестности переменную у как непрерывную функцию х при условии, что производная и непрерывна в некоторой окрестности точки Если, кроме того, в окрестности этой точки существует непрерывная производная то неявная функция имеет производную, определяемую по формуле

Рассмотрим теперь уравнение связывающее переменные х, у, z. Если окрестности точки существуют непрерывные частные производные причем то уравнение в некоторой окрестности точки имеет единственное решение такое, что этом функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные, которые определяются по формулам

Пример 2. Для уравнения имеем . Значит, данное уравнение задает всюду определенную функцию частные производные которой равны