13. Приближенные вычисления
13.1. Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов служит для приближенного определения функции, заданной таблично по результатам измерений. Общий вид искомой функциональной зависимости задают априорно с помощью набора параметров (неопределенных коэффициентов) исходя из различных соображений. Наиболее часто используют линейную,
степенную и экспоненциальную зависимости. Неопределенные коэффициенты определяются путем минимизации суммы квадратов разностей между результатами измерений и искомой зависимостью при тех же значениях аргумента.
Далее будем считать, что 
— табличные значения аргумента, а 
— соответствующие значения функции.
Линейная функция. Пусть в качестве искомой зависимости выбрана линейная функция 
Для вычисления неопределенных коэффициентов a и b необходимо минимизировать сумму
Используя необходимые условия минимума функции 
(т.е. приравнивая нулю частные производные 
по параметрам a и b), получим систему двух линейных уравнений для a и b:
Значения 
здесь считаются заданными.
Квадратичная функция. Если в качестве искомой зависимости взять квадратичную функцию 
, то для определения коэффициентов 
и с приходим к системе трех линейных уравнений
Общий случай. Рассмотрим общий случай функциональной зависимости
где 
— параметры, которые подлежат определению методом наименьших квадратов.
Составим сумму
Необходимые условия минимума этого выражения приводят к следующей системе 
алгебраических (или трансцендентных) уравнений для нахождения неопределенных параметров:
которая в общем случае будет нелинейной.
