6.4. Общее уравнение динамики (принцип Даламбера — Лагранжа)

Формулировка общего уравнения динамики: механическая система, на которую наложены идеальные связи, движется так, что в каждый момент времени сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю. Математическая формулировка принципа Даламбера — Лагранжа:

Пример. По гладкой горизонтальной поверхности движется прямоугольный параллелепипед массы по его верхней идеально шероховатой поверхности катится однородный диск массы и радиуса к центру которого приложена постоянная горизонтальная сила (рис. 39, а). Найти ускорения параллелепипеда и центра диска

Решение. Рассмотрим систему, состоящую из параллелепипеда и диска. Наложенные связи являются идеальными, и для изучения движения системы можно применить общее уравнение динамики. В качестве координат, определяющих положение системы, выберем абсолютную координату параллелепипеда и координату характеризующую положение диска по отношению к параллелепипеду.

Векторы ускорений параллелепипеда и центра диска горизонтальны, их величины угловое ускорение диска Предполагаемые направления векторов и соответствующее им направление дуговой стрелки изображены на рис. 39, б. К активным силам силы

весь параллелепипеда и диска) добавим силы инерции и пару сил инерции с моментом (см. рис. 39, б) Сообщим системе возможное перемещение, увеличив координаты величины этом диск повернется на угол

Рис. 39.

Подсчитаем сумму элементарных работ активных сил и сил инерции на возможном перемещении и приравняем ее нулю:

После преобразований получим

Здесь возможные перемещения могут принимать произвольные независимые между собой значения. Чтобы равенство нулю выполнялось всегда, необходимо, чтобы оба выражения, стоящие множителями при и заключенные в квадратные скобки, были равны нулю. Таким образом, равенство (4) распадается на систему двух уравнений с двумя неизвестными

Решая систему, найдем