5.2. Напряжения и деформации при прямом чистом изгибе

Гипотезы чистого изгиба. Рассмотрим стержень в состоянии чистого изгиба (рис. 17). В его поперечных сечениях возникает единственный, отличный от нуля силовой фактор — постоянный изгибающий момент

Будем использовать гипотезу плоских сечений: плоские до деформации поперечные сечения стержня остаются после деформации плоскими и перпендикулярными деформированной продольной оси.

В соответствии с этой гипотезой два близких сечения поворачиваются относительно друг друга на угол (рис. 17, б). В результате такой деформации возникает нейтральный слой, продольные волокна которого не изменяют своей длины. В нижней части сечения продольные волокна удлиняются (а в верхней — укорачиваются) на величину Продольная деформация волокна равна

где радиус кривизны нейтрального слоя.

Дополнительно к гипотезе плоских сечений предположим, что продольные волокна стержня не давят друг на друга. Отсюда следует, что они находятся в состоянии одноосного растяжения или сжатия (см. рис. 5).

Рис. 18.

Кривизна оси. Формула для нормальных напряжений. В соответствии с законом имеем

Отсюда следует, что нормальные напряжения в поперечном сечении стержня изменяются прямо пропорционально расстоянию у от нейтрального слоя (рис. 18).

Используя формулы (1) гл. 1 и равенство нулю продольной силы, получим

Из первого равенства вытекает, что нейтральная ось х поперечного сечения проходит через центр тяжести, следовательно, величина есть радиус кривизны изогнутой оси стержня. Из второго равенства выводим формулу, определяющую кривизну оси,

Величина называется моментом инерции сечения относительно оси х (см. часть «Теоретическая механика», разд. 5.1), а произведение — жесткостью сечения при изгибе.

Рис. 19.

Из (2), (3) получим основную формулу для нормальных напряжений стержня при прямом изгибе

в которой знак «минус» необходим для согласования правила знаков величин а и При (рис. 19) верхние волокна сжимаются нижние растягиваются при знаки напряжений в верхней и нижней частях сечения меняются на противоположные.