5.2. Напряжения и деформации при прямом чистом изгибе
Гипотезы чистого изгиба. Рассмотрим стержень в состоянии чистого изгиба (рис. 17). В его поперечных сечениях возникает единственный, отличный от нуля силовой фактор — постоянный изгибающий момент
Будем использовать гипотезу плоских сечений: плоские до деформации поперечные сечения стержня остаются после деформации плоскими и перпендикулярными деформированной продольной оси.
В соответствии с этой гипотезой два близких сечения поворачиваются относительно друг друга на угол
(рис. 17, б). В результате такой деформации возникает нейтральный слой, продольные волокна которого
не изменяют своей длины. В нижней части сечения продольные волокна удлиняются (а в верхней — укорачиваются) на величину
Продольная деформация волокна равна
где
радиус кривизны нейтрального слоя.
Дополнительно к гипотезе плоских сечений предположим, что продольные волокна стержня не давят друг на друга. Отсюда следует, что они находятся в состоянии одноосного растяжения или сжатия (см. рис. 5).
Рис. 18.
Кривизна оси. Формула для нормальных напряжений. В соответствии с законом
имеем
Отсюда следует, что нормальные напряжения
в поперечном сечении стержня изменяются прямо пропорционально расстоянию у от нейтрального слоя (рис. 18).
Используя формулы (1) гл. 1 и равенство нулю продольной силы, получим
Из первого равенства вытекает, что нейтральная ось х поперечного сечения проходит через центр тяжести, следовательно, величина
есть радиус кривизны изогнутой оси стержня. Из второго равенства выводим формулу, определяющую кривизну оси,
Величина
называется моментом инерции сечения относительно оси х (см. часть «Теоретическая механика», разд. 5.1), а произведение
— жесткостью сечения при изгибе.
Рис. 19.
Из (2), (3) получим основную формулу для нормальных напряжений стержня при прямом изгибе
в которой знак «минус» необходим для согласования правила знаков величин а и
При
(рис. 19) верхние волокна сжимаются
нижние растягиваются
при
знаки напряжений в верхней и нижней частях сечения меняются на противоположные.