6. Принцип Даламбера. Элементы аналитической механики

6.1. Принцип Даламбера

Силы инерции. Принцип Даламбера. Пусть точка материальной системы движется под действием некоторой системы сил (эти силы могут быть разбиты либо на внешние и внутренние, либо на активные и силы реакций связей). Равнодействующую этой системы сходящихся сил обозначим Р.

Силой инерции точки называется векторная величина равная произведению массы точки на ее ускорение и направленная противоположно ускорению:

Сила Ф фиктивна, она не входит в число реальных сил, действующих на точку.

Принцип Даламбера: при движении механической системы (точки) любое ее состояние можно рассматривать как положение равновесия, если к реальным силам, действующим на каждую точку системы, добавить фиктивные силы инерции.

В соответствии с этим принципом, если к каждой точке системы добавить силу то система сил, состоящая из реальных и фиктивных Ф; сил, будет удовлетворять всем уравнением статики, т.е. главный вектор системы сил и ее главный момент относительно произвольного центра Р будут равны нулю:

В координатной форме эти уравнения записываются так:

Принцип Даламбера позволяет перенести методы решения задач статики на задачи динамики.

Пример 1. В кабине лифта, поднимающегося замедленно с ускорением а, находится груз веса (рис. 34). Определить давление пола лифта на груз.

Решение. Примем груз за материальную точку и расставим реальные силы, действующие на него, — активную силу веса и силу давления пола на груз . Добавим к этим силам фиктивную силу инерции (обратите внимание: сила Ф на рисунке направлена не против перемещения лифта, а противоположно вектору ускорения).

Полученная система трех сил уравновешена в соответствии с принципом Даламбера. Линии действия всех сил направлены вдоль одной прямой, поэтому равновесие системы описывается одним уравнением остальные пять уравнений обращаются в тождества. Уравнение равновесия имеет вид

Подставляя вместо Ф модуль силы инерции та (знак минус был учтен на рисунке), имеем Видно, что сила давления пола меньше веса груза.

Рис. 34.

Система сил инерции может оказаться громоздкой в случаях большого количества материальных точек или распределенных масс. Пользуясь теоремой статики о приведении системы сил к центру, систему сил инерции можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы приложенной в наперед заданном центре Р (она равна главному вектору сил инерции и не зависит от выбора центра), и одной пары сил, момент которой равен главному моменту сил инерции относительно центра: Можно показать, что Ф подсчитывается по формуле

где — масса системы, — ускорение центра масс.

Выражения для главного момента сил инерции твердого тела и его проекций на координатные оси:

1. При поступательном движении:

2. При вращении вокруг неподвижной оси

3. При плоскопараллельном движении:

Здесь угловое ускорение тела, — моменты инерции тела относительно оси и оси, проходящей через центр масс перпендикулярно основной плоскости (знаки «минус» в формулах означают, что направления углового ускорения и момента пары сил инерции противоположны).

Пример 2. Однородный диск радиуса катится вверх без проскальзывания по дуге окружности радиуса (рис. 35). Коэффициент трения качения равен . Определить ускорение центра диска и силу давления диска на опору в тот момент, когда скорость центра диска равна а Угол между вертикалью и прямой, соединяющей центры диска и дуги, равен а.

Решение. Ускорение центра диска состоит из двух составляющих атс и причем направление атс заранее неизвестно, а При отсутствии проскальзывания где — угловое ускорение диска.

Силы инерции диска приведем к центру масс при этом силу инерции разложим на две составляющие где Величина момента пары сил инерции будет равна соответствующую ему дуговую стрелку направим противоположно дуговой стрелке предполагаемого углового ускорения.

Рис. 35

Изображенная на рис. 35 система сил уравновешена в силу принципа Даламбера. Выпишем уравнения равновесия для плоской системы сил:

Здесь (1) — уравнение проекций на направление — уравнение проекций на направление - уравнение моментов относительно центра Р. Присоединив к этим уравнениям закон Кулона (см. гл. 3):

получим окончательно систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными решив которую, найдем: