12. Обыкновенные дифференциальные уравнения

12.1. Общие понятия. Уравнения первого порядка

Некоторые определения. Обыкновенным дифференциальным уравнением (кратко называется уравнение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию и ее производные:

Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Решением ДУ называется функция которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Соотношение определяющее решение неявным образом, называется интегралом ДУ.

Пример 1. Функция является одним из решений ДУ первого порядка Решениями этого ДУ являются также функции и др., а соотношения и т. п. являются интегралами данного ДУ.

Понятие интеграла ДУ несколько шире понятия решения, так во многих случаях в ходе решения (или, как говорят, интегрирования) ДУ удается получить лишь соотношение между х и у, которое не

всегда можно разрешить относительно у, чтобы записать решение в явном виде.

Уравнения первого порядка. В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка записывается так: разрешенное относительно производной, имеет вид Иногда последнее уравнение записывают с помощью дифференциалов:

Теорема существования и единственности: если функция непрерывна в некоторой области, содержащей точку и имеет там ограниченную частную производную по у, то существует единственное решение уравнения удовлетворяющее условию при

Последнее условие, которое записывают в виде или называется начальным условием. Геометрический смысл сформулированной теоремы состоит в том, что существует единственная функция, которая удовлетворяет ДУ и график которой проходит через точку Задача отыскания решения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Общим решением ДУ называется совокупность всех его решений. Как правило, общее решение удается записать в виде функции зависящей от одной произвольной постоянной С; при конкретных значениях С эта функция, определяет конкретные решения уравнения (частные решения). Иногда общее решение задается неявным образом в виде соотношения называемого общим интегралом при конкретном значении постоянной отсюда получается соотношение называемое частным интегралом.

При соответствующем выборе постоянной С из общего решения может быть получено любое однозначно определяемое начальными данными частное решение. Например, общим решением является функция при получаем отсюда частное решение удовлетворяющее начальному условию

Геометрически общее решение (общий интеграл) представляет собой семейство кривых на плоскости х, у, зависящих от одного параметра эти кривые называются интегральными кривыми данного ДУ. Частному решению (частному интегралу) соответствует одна кривая семейства, проходящая через заданную точку плоскости.

Уравнение для каждой точки определяет значение т.е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку (задает поле направлений на плоскости Задача решения ДУ первого порядка с геометрической точки зрения состоит в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках.

Дифференциальные уравнения, допускающие точное аналитическое решение (решение в замкнутой форме).

1. Уравнение с разделенными переменными: Эквивалентная запись уравнения:

Функции и другие функции, встречающиеся в дальнейшем, предполагаются непрерывными в рассматриваемых областях изменения своих аргументов.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

Здесь и далее С — произвольная постоянная.

Для выделения частного решения (интеграла), удовлетворяющего условию можно использовать соотношение

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Общий интеграл этого ДУ имеет вид: или . В правой части последнего равенства для краткости часто вводят новую произвольную постоянную

2. Уравнение с разделяющимися переменными:

Делим обе части на В результате получим уравнение с разделенными переменными. После интегрирования имеем

Пример 3. Решить уравнение

Решение. После деления обеих частей на получим уравнение с разделенными переменными: Решая его, находим общий интеграл: .

Уравнение вида

с помощью замены где — новая неизвестная функция (при этом приводится к ДУ с разделяющимися переменными: .

3. Однородное уравнение:

Правая часть этого уравнения зависит от отношения аргументов у и х. Вводя новую неизвестную функцию получим ДУ с разделяющимися переменными: Решив его и заменив z на находим общий интеграл исходного однородного ДУ. Пример 4. Решить уравнение

Решение. Записав уравнение в виде имеем однородное ДУ. Замена приводит к уравнению с разделяющимися переменными для новой неизвестной функции Решая его, находим общий интеграл: . Возвращаясь к старым переменным, получим общий интеграл исходного .

К однородному ДУ приводится уравнение вида

Для этого нужно перейти к новым переменным где значения постоянных находят, решая линейную алгебраическую систему . В результате для функции получим уравнение Последнее после деления числителя и знаменателя аргумента функции на х принимает вид однородного ДУ, правая часть которого зависит только от отношения переменных:

4. Линейное дифференциальное уравнение:

Решение ищем в виде произведения где функция удовлетворяет «укороченному» уравнению с разделяющимися переменными: (в качестве такой функции можно взять любое частное решение этого уравнения, например, где Для функции получим уравнение с разделяющимися переменными Интегрируя уравнение для и, находим общее решение:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Положив получим . В качестве функции возьмем какое-нибудь частное решение уравнения с разделяющимися переменными например После этого функцию найдем из уравнения или Интегрируя, имеем . В итоге получим общее решение исходного

5. Уравнение Бернулли:

Частные случаи соответствуют линейному уравнению (см. выше п. 4). Замена приводит к линейному уравнению: Общий интеграл уравнения Бернулли имеет вид

6. Уравнение в полных дифференциалах:

Левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух переменных

Общий интеграл: где функция определяется из системы

Интегрируя первое уравнение, имеем (при интегрировании переменная х рассматривается как параметр). Подстановка этого выражения во второе уравнение позволяет найти функцию Ф (а затем функцию . В итоге общий интеграл уравнения в полных дифференциалах можно представить в виде

где — произвольные числа.

Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов. Частное решение уравнения первого порядка, удовлетворяющее заданному начальному условию можно искать в виде ряда Тейлора по степеням разности

(если начальное условие задается при получится ряд по степеням ).

Для нахождения коэффициентов этого ряда заданное ДУ дифференцируют по х нужное число раз, принимая во внимание начальное условие. На практике х берут достаточно близким к чтобы остаточным членом можно было пренебречь (по сравнению с удержанными членами).

Пример 6. Найти первые три члена разложения в ряд частного решения уравнения удовлетворяющего начальному условию

Решение. Так как начальное условие задано при будем получать ряд по степеням х. Из уравнения имеем Дифференцируя обе части исходного ДУ, найдем откуда с учетом заданного начального условия и найденного значения получим Продолжая аналогично, найдем откуда

Подставляя полученные значения производных в ряд Маклорена для приходим к искомому представлению частного решения в виде степенного ряда: