4.3. Затухающие и вынужденные колебания

Затухающие колебания. Если в колебательной системе происходят потери энергии, то амплитуда колебаний уменьшается со временем. Если потери энергии механических колебаний определяются силой вязкого трения, которая при малых скоростях пропорциональна скорости, то уравнение движения приводится к линейному дифференциальному уравнению

которое называется уравнением затухающих колебаний. Здесь — коэффициент затухания, — циклическая частота собственных колебаний в отсутствие затухания (при Решение этого уравнения удобно искать в виде экспоненты: Подставляя в (11), получим для квадратное уравнение: Если то уравнение имеет два комплексно сопряженных решения: которые приводят к

одинаковым ответам, поэтому можно взять любое. Применяя формулу Эйлера (см. разд. 4.1), получим:

где постоянные определяются начальными условиями.

Функция (12) принимает нулевое значение через равные промежутки времени (рис. 51), поэтому и Т условно называют частотой и периодом затухающих колебаний. Если то на каждом временном интервале колебания можно считать гармоническими, имеет смысл амплитуды колебаний на этом интервале. Поэтому называют (при любом зависящей от времени амплитудой затухающих колебаний. Убывание амплитуды за период, равное называют декрементом затухания, а логарифм декремента

называют логарифмическим декрементом затухания. Величина показывает, за сколько полных колебаний амплитуда уменьшается раз.

Рис. 51.

Если (сильное затухание), то квадратное уравнение для имеет два действительных положительных корня: и общее решение

имеет неколебательный (ангармонический) характер (параметры определяются начальными условиями).

Затухающие электрические колебания. Сравнивая уравнение колебаний в электрическом контуре (9) с уравнением затухающих колебаний (11), находим выражения для коэффициента затухания и логарифмического декремента затухания:

Условие слабого затухания имеет вид: (величину называют волновым сопротивлением контура).

Вынужденные механические колебания. Движение системы под воздействием внешней периодической силы называют вынужденными колебаниями, саму внешнюю силу называют вынуждающей силой. Из уравнения движения получим уравнение вынужденных колебаний:

где принято обозначение

Общее решение такого неоднородного (с отличной от нуля правой частью) уравнения может быть представлено в виде суммы частного (т.е. любого) решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. (Общее решение должно содержать свободные параметры, позволяющие удовлетворить любым начальным условиям.) Однородное уравнение представляет собой уравнение затухающих колебаний, его общее решение (формулы (12) и экспоненциально затухает за время Затухание собственных колебаний означает окончание переходного режима установления колебаний и наступление режима установившихся вынужденных колебаний, характеристики которого определяются функцией и параметрами но не зависят от начальных условий.

Частное решение уравнения (16) будем искать в виде установившихся колебаний. Так как любая периодическая сила может быть разложена в ряд Фурье, то естественно исследовать установившиеся вынужденные колебания под действием гармонической вынуждающей силы Будем искать их в виде гармонических колебаний такой же частоты, но со сдвигом по фазе:

Подставляя (17) в уравнение, находим

При получим что соответствует статическому смещению тела вслед за медленно меняющейся силой. При имеем Графики приведены на рис. 52.

Рис. 52.

Резонанс. Максимальное значение амплитуды установившихся колебаний достигается при резонансной частоте и равно где

циклическая частота затухающих колебаний. При и 0 зависимость содержит резкий и узкий максимум при резонансной частоте, которая в этом пределе близка к собственной частоте колебаний системы. Это явление называется резонансом, а кривые зависимости -резонансными кривыми. Характеристики максимумов отношение Атах к статическому отклонению равно логарифмический декремент затухания; величину называют добротностью колебательной системы). Ширина максимума на уровне равна коэффициенту затухания:

Амплитуда установившихся колебаний скорости достигает максимального значения при При резонансе колебания скорости происходят в фазе с колебаниями возмущающей силы.

Рассмотрим процесс установления колебаний при частоте вынуждающей силы, равной резонансной частоте (предполагается, что Если в начальный момент смещение и скорость точки равнялись нулю, то в рассматриваемом пределе начальным условиям удовлетворяет решение:

Полученная зависимость изображена на рис. 53. При амплитуда растет пропорционально времени: затухание на этом этапе влияния не оказывает. Отметим, что время установления колебаний велико по сравнению с периодом: Если частота близка к но отличается от нее, то движение на начальном этапе представляет собой сумму колебаний с близкими частотами. Если выполнено условие то в процессе установления колебаний происходят явно выраженные биения (амплитуда колебаний возрастает почти до и уменьшается почги до нуля с периодом

Рис. 53.

Резонанс при произвольном периодическом воздействии. Если период внешнего воздействия кратен периоду собственных колебании системы то в разложении в ряд Фурье может присутствовать гармоника с частотой и. Если добротность колебательной системы велика, то под действием этой гармоники могут возникнуть гармонические колебания заметной амплитуды. Например, для раскачивания качелей можно подталкивать их на каждом размахе (тогда резонансную частоту будет иметь первая гармоника), можно — через раз (будет работать вторая гармоника), и т. д.

Вынужденные электрические колебания. Если в колебательный контур (см. разд. 4.2) включить переменную ЭДС , то вынужденные колебания будут описываться таким же дифференциальным уравнением, как и для механической системы:

Здесь — заряд на конденсаторе, — коэффициент затухания, — циклическая частота собственных колебаний контура. Рассмотрим установившиеся колебания под действием гармонического воздействия Колебания заряда происходят по закону где для амплитуды и сдвига по фазе верны выражения (18). Однако в электрической цепи интерес представляют не колебания заряда, а колебания тока которые происходят по закону с амплитудой и сдвигом по фазе, равными

Максимум амплитуды колебаний тока (резонанс) достигается при значении и равен При резонансе колебания тока происходят в фазе с колебаниями ЭДС.

Рис. 54.

Колебания напряжения на сопротивлении, конденсаторе и катушке индуктивности описываются следующими формулами:

Коэффициенты пропорциональности между амплитудами тока и напряжения называют: — емкостным сопротивлением, — индуктивным сопротивлением. Величину называют реактивным сопротивлением цепи, сопротивление — активным сопротивлением (в том смысле, что только на нем рассеивается энергия), величину — полным сопротивлением. Формулу (20) можно переписать в виде: . Все эти соотношения становятся очень наглядными при использовании векторных диаграмм (рис. 54). При резонансе , т.е. колебания напряжений на емкости и на индуктивности компенсируют друг друга и сопротивление цепи превращается в активное сопротивление

Мощность на участке цепи. Действующим, или эффективным, значением переменного тока (напряжения, называется такое значение постоянного тока, при котором на активном сопротивлении выделяется за период такое же количество теплоты, как при переменном токе (т.е. среднеквадратичное за период значение):

Для синусоидального тока Если сдвиг фазы между током и напряжением равен то средняя за период мощность равна

Для реактивного сопротивления средняя мощность равна нулю.