4.2. Свободные незатухающие колебания

Свободные механические колебания. Если смещение консервативной механической системы из положения устойчивого равновесия описывается одним параметром х, то при малых х потенциальная

энергия имеет вид

т.е. при малых отклонениях от устойчивого равновесия система совершает гармонические колебания. Потенциальную энергию колебательной системы принято отсчитывать от положения устойчивого равновесия при Обобщенная сила при малых х пропорциональна смещению: (Если х — линейная координата, то обобщенная сила — проекция силы на направление смещения; если х — угол отклонения, то х — вращательный момент.)

Если механическая система представляет собой материальную точку или поступательно движущееся тело, то кинетическая энергия имеет вид Уравнение движения

имеет такой же вид, как для груза на пружине. Поэтому действующую на тело возвращающую (т.е. направленную в сторону положения равновесия) силу называют при малых х квазиупругой силой: а коэффициент х — эффективной жесткостью. Циклическая частота и период колебаний имеют вид:

Точка совершает гармонические колебания: а ее кинетическая и потенциальная энергии — гармонические колебания с частотой

где — полная механическая энергия, которая пропорциональна квадрату амплитуды. Средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной энергии.

Пример 1. Потенциальная энергия жидкости в -образной трубке (рис. 47) при смещении жидкости на х увеличивается на — плотность жидкости, — сечение трубки), а кинетическая энергия равна Значит, циклическая частота колебаний равна

Пример 2. В одной из «дорезерфордовских моделей атома водорода положительный заряд предполагался равномерно распределенным по шару радиусом Я, равным радиусу атома, а электрон располагался в центре шара. Найдем частоту колебаний электрона при смещении его из положения равновесия. Сила притяжения при смещении на равна (см. разд. 3.4), поэтому при смещении на будут происходить гармонические колебания с частотой

Рис. 47.

Рис. 48.

Пример 3. Физический маятник. Физическим маятником называется твердое тело с горизонтальной неподвижной осью вращения, не проходящей через его центр масс. При отклонении маятника от положения равновесия на малый угол а (рис. 48) возникает момент силы тяжести, равный а — расстояние от центра масс до оси вращения), стремящийся вернуть тело в положение равновесия. Уравнение вращательного движения твердого тела имеет вид: , где I — момент инерции тела относительно оси вращения. При малых углах отклонения а 1 это уравнение превращается в уравнение гармонических колебаний относительно угла Циклическая частота и период колебаний маятника равны

Например, для однородного стержня длиной подвешенного за один из своих концов, получим Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, период которого равен периоду данного физического маятника: (Для однородного стержня, подвешенного за конец, Точка, находящаяся на расстоянии от оси подвеса и лежащая на прямой, проходящей через центр масс перпендикулярно оси подвеса, называется центром качаний. Если подвесить тело на оси, проходящей через центр качании параллельно прежней оси, то период колебаний, а значит, и приведенная длина маятника не изменятся.

Обобщенной силой в данном примере является момент силы тяжести. Частоту можно определить и энергетическим методом, найдя зависимость потенциальной энергии от угла отклонения. Для полной энергии получим: откуда находим частоту колебаний.

Гармонические колебания являются изохронными, т.е. их период не зависит от амплитуды. Дело в том, что в уравнении гармонических колебаний коэффициент 7 имеет размерность и по соображениям размерности период не может зависеть ни от чего, кроме 7. Колебания большой амплитуды перестают быть гармоническими, а значит, и изохронными — возникает зависимость периода от амплитуды. Однако в некоторых специальных случаях даже малые колебания могут не быть изохронными. Это происходит тогда, когда в формуле (6) для разложения по х вторая производная

обращается в нуль. Такая ситуация возникает, например, при отклонении груза, прикрепленного к середине недеформированной пружины с закрепленными концами, в перпендикулярном пружине направлении. Потенциальная энергия при малых х пропорциональна и уравнение движения имеет вид: Размерность 7 в этом случае и период колебаний обратно пропорционален амплитуде.

Колебательные системы с несколькими степенями свободы. Если смещение системы из устойчивого положения равновесия характеризуется независимыми параметрами то при произвольном малом начальном отклонении зависимость не будет гармоническим колебанием. Однако любое движение может быть представлено в виде суммы специальных движений, называемых нормальными колебательными модами, в каждом из которых все совершают гармонические колебания с некоторой циклической частотой, характеризующей данную моду. В общем случае все частот могут быть различными.

Пример 4. Связанные маятники. Рассмотрим два одинаковых математических маятника длиной грузы которых соединены недеформированной пружиной жесткостью к (рис. 49).

Рис. 49.

Нормальные моды данной системы позволяет угадать симметрия системы. Гармонические колебания возникают при: а) одинаковом отклонении маятников в одну сторону и б) при одинаковом отклонении маятников в разные стороны первом случае: во втором: Если отклонить в сторону только первый маятник, что соответствует начальным условиям (юго) то такое отклонение можно представить в виде суммы двух нормальных отклонений: Это значит, что движение первого маятника будет совершаться по закону: а второго маятника — по закону: Если то частоты будут близки: при наложении двух колебании с близкими частотами будут наблюдаться биения (см. разд. 4.1): через время второй маятник раскачается, а первый остановится, еще через такое же время энергия снова перейдет к первому маятнику, и т. д.

Рис. 50.

Свободные колебания в электрическом контуре. Колебательным контуром называется замкнутая цепь, состоящая из конденсатора емкостью С и катушки индуктивностью (рис. 50). Процессы в колебательном контуре, как и в цепях переменного тока, исследуются в области частот, где выполняется условие квазистационарности (см. разд. 3.14), т. е. и где I — характерные размеры системы (в этом

приближении, в частности, можно не учитывать излучение контура). Закон Ома для участка цепи, содержащего индуктивность, при выбранном правиле знаков для обхода контура и для заряда конденсатора имеет вид: где — сопротивление проводов и катушки. С учетом соотношений: I = q (верного при выбранных знаках), имеем Отсюда получим

Если сопротивление контура пренебрежимо мало (что соответствует то заряд на конденсаторе изменяется по гармоническому закону с циклической частотой и периодом, равными

Ток в контуре изменяется по гармоническому закону с амплитудой с опережением по фазе на Энергия контура

переходит из электрической формы в магнитную и обратно: в момент максимальной зарядки конденсатора она равна а когда заряд конденсатора равен нулю, то Для зависимости магнитной и электрической энергии от времени верны такие же соотношения, как для кинетической и потенциальной энергий при механических колебаниях.