3.11. Вычисление магнитной индукции

Закон Био — Савара — Лапласа. Магнитная индукция, создаваемая в точке А элементом тока равна

где радиус-вектор, проведенный от элемента тока к точке магнитная постоянная, с — скорость света. Это выражение можно переписать для магнитной индукции элемента объемного тока элемента поверхностного тока или, разделив на число свободных частиц в элементе тока, для нерелятивистской частицы

(Поверхностной плотностью тока называют силу тока, приходящуюся на единицу длины перпендикулярного току отрезка: Для вычисления магнитной индукции, создаваемой конечным объемом, поверхностью или проводом, надо произвести интегрирование (принцип суперпозиции для магнитной индукции).

О системах единиц в электромагнетизме. Формулы будут приводиться в системе Для перехода к гауссовой системе в большинстве случаев достаточно заменить одновременно на (и поток Ф на на Если в формуле присутствует кулоновская константа к, ее надо заменить на единицу, а электрическую постоянную на Отметим, что произведение равно

Пример 1. Вычислить силу магнитного взаимодействия двух частиц с зарядами и скорости которых в некоторый момент равны и направлены перпендикулярно соединяющей их линии.

Решение. Магнитная индукция, создаваемая первой частицей в точке, где находится вторая частица, равна — расстояние между частицами) и направлена перпендикулярно и Сила Лоренца в случае одноименных зарядов направлена в сторону частицы 1 и равна

Отношение магнитной силы к электрической равно

Рис. 37.

Пример 2. Магнитная индукция, создаваемая в центре кругового контура элементом дуги с угловым размером равна

и направлена вдоль оси (в сторону движения буравчика при его вращении по току). Магнитная индукция, создаваемая в центре окружности всем круговым током, равна

Пример 3. Найти магнитную индукцию кругового тока в точке А на его оси, находящейся на расстоянии у от центра витка (рис. 37).

Решение. Вектор направлен вдоль оси у, а вклад элемента дуги с угловым размером равен

После интегрирования по получим

На большом расстоянии от контура магнитная индукция

выражается через магнитный момент аналогично тому, как напряженность электрического поля выражается через электрический момент диполя (см. пример 4 из разд. 3.3, случай Можно показать, что и в произвольной точке магнитная ийдукция плоского маленького витка с током равна

Пример 4. Найдем магнитную индукцию, создаваемую прямым отрезком провода в точке А, положение которой относительно отрезка задается расстоянием у до прямой и углами и (рис. 38). Вклад в элемента направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через отрезок и точку А, и равен . Интегрировать удобно по углу а после подстановки а и замены переменной: . В результате имеем

Рис. 38.

Полагая находим магнитную индукцию бесконечного провода с током:

Если с помощью (57) рассчитать магнитную индукцию в центре прямоугольного контура с током, то получим

где — длины сторон контура.