1.8. Поле тяготения

Закон всемирного тяготения. Две точечные массы находящиеся на расстоянии друг от друга, притягиваются с силой тяготения (гравитационной силой), равной

где — гравитационная постоянная. Сила тяготения — центральная сила, т.е. она действует вдоль линии, соединяющей частицы.

Силу, действующую на материальную точку массой в центральном поле тяготения (гравитационном поле), создаваемым неподвижной точечной массой М, можно записать в виде (см. разд. 1.3):

Тем самым роль «заряда» для поля тяготения играет инертная масса . Иногда это свойство формулируют как равенство гравитационной и инертной масс. Потенциальную энергию точки в центральном поле тяготения можно найти, используя соотношение между силой и потенциальной энергией (формула т. е. Константу обычно полагают равной нулю, т.е. принимают за нуль потенциальную энергию на бесконечности:

Принцип суперпозиции. Если поле тяготения создается несколькими точечными массами то сила, действующая на материальную точку массой и ее потенциальная энергия вычисляются по формулам:

где — радиус-вектор точки массой — радиус-вектор точки массой Если источник поля представляет собой непрерывно распределенную массу, то суммирование в (31) надо заменить интегрированием.

Напряженность и потенциал поля тяготения. Из уравнений (31) видно, что как сила, действующая на материальную точку массой в поле тяготения, так и ее потенциальная энергия пропорциональны Значит, удельные значения массы и энергии (отношения ) не зависят от величины т.е. представляют собой характеристики поля. Их называют, соответственно, напряженностью и потенциалом поля тяготения:

Напряженность поля имеет простой физический смысл: она представляет собой ускорение свободного падения любой точечной массы, помещенной в данную точку поля. Напряженность и потенциал поля тяготения, создаваемого точечной массой М, имеют вид:

Напряженность и потенциал поля, создаваемого несколькими массами, вычисляются с помощью принципа суперпозиции. Запись уравнения аналогична (31), для разнообразия запишем ответ для случая распределенной массы:

Пример 1. Показать, что напряженность поля тяготения внутри тонкого сферического слоя равна нулю.

Решение. Для доказательства рассмотрим вклад в напряженность поля в точке А небольших участков В и С сферы, отсекаемых от нее тонким конусом с вершиной в точке А (рис. 9). Отношение площадей этих участков, а значит, и отношение их масс, равно отношению квадратов расстояний от этих участков до точки А. Следовательно, напряженности, создаваемые этими участками в точке А, равны по величине.

Рис. 9.

Напряженность поля, создаваемого тонкой сферой массой М вне ее, оказывается равной напряженности, создаваемой точечной массой М, помещенной в центр сферы. Доказательство этого результата требует громоздкого интегрирования (первым его проделал Ньютон). В гл. 3 это утверждение будет доказано с помощью теоремы Гаусса. Такой же ответ годится для любой сферически распределенной массы, в частности, для любой сферической планеты.

Пример 2. Пусть масса М распределена по отрезку длиной Вычислить напряженность и потенцией! на продолжении отрезка, на расстоянии х от его центра.

Решение. Масса заключенная на отрезке длиной равна Интегрируя, получим

Видно, что симметричное, но несферическое тело нельзя заменить точечной массой, помещенной в ее центр. Этот пример является также иллюстрацией того, что напряженность и потенциал связаны соотношением аналогичным соотношению (16).

Движение в центральном поле тяготения. Законы Кеплера. Движение в центральном поле тяготения подчиняется общим законам движения в центральном поле. Однако оно обладает некоторыми особенностями, отраженными в первом и третьем из законов Кеплера, сформулированных им для планет Солнечной системы.

Первый закон Кеплера утверждает, что финитное движение материальной точки в центральном поле тяготения происходит по замкнутой траектории — эллипсу, в одном из фокусов которого находится центр силы притяжения (Солнце).

Второй закон Кеплера фиксирует постоянство секторной скорости, т.е. скорости «заметания» площади радиусом-вектором движущейся точки. Он относится к любому центральному полю и является прямым следствием закона сохранения момента импульса (см. пример 2 из разд. 1.6).

Третий закон Кеплера утверждает, что квадраты периодов движения относятся как кубы больших полуосей эллиптических орбит:

Дополним первый закон Кеплера утверждением, что инфинитное движение в центральном поле тяготения происходит либо по параболе либо по гиперболе . В качестве дополнения к третьему закону Кеплера приведем связь между удельной энергией движения и большой полуосью: Видно, что период движения однозначно определяется удельной энергией движущегося тела.

Космические скорости. Первой космической скоростью называют скорость движения по круговой орбите вблизи поверхности планеты. Она определяется из уравнения движения спутника и равна (Для Земли

Вторая космическая скорость — минимальная скорость, которую надо сообщить телу на поверхности планеты, чтобы оно преодолело силу тяготения и ушло на бесконечность. Как видно из разд. 1.7, условием инфинитности движения является неравенство О, т.е. вторая космическая скорость находится из уравнения и равна (Для Земли )