5.5. Теорема об изменении кинетической энергии

Элементарная работа. Рассмотрим точку Б, перемещающуюся под действием системы сил. Малое перемещение точки вдоль траектории характеризуется вектором (рис. 31). Из системы выделим одну силу Р.

Рис. 31

Элементарной работой силы Р на перемещении называется скалярная величина равная скалярному произведению векторов Р и

В координатной форме элементарная работа подсчитывается по формуле

где — координаты векторов и соответственно.

Следует подчеркнуть, что, несмотря на принятую форму записи, элементарная работа не обязательно является полным дифференциалом некоторой функции, зависящей от координат.

Знак элементарной работы определяется косинусом угла а: она положительна для отрицательна для и равна нулю при

Вычисление элементарной работы в частных случаях.

1. Элементарная работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси находится по формуле

2. Сумма элементарных работ сил пары, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси и при плоскопараллельном движении, может быть подсчитана так:

Здесь М — момент пары сил, — элементарный угол поворота тела. Знак «плюс» берется при одинаковых направлениях дуговых стрелок момента пары и направления вращения, «минус» — при различных направлениях (плоскость действия пары предполагается параллельной основной плоскости).

Рис. 32

3. При вычислении элементарных работ сил трения, приложенных к телу, катящемуся без проскальзывания, необходимо учесть, что в точке касания Р (рис. 32) действуют: сила нормального давления сила трения и пара сил трения качения с моментом Поскольку, в силу отсутствия проскальзывания, точка касания является мгновенным центром скоростей и ее скорость равна нулю, то и откуда

4. Можно доказать, что сумма элементарных работ сил, приложенных к твердому телу, равна сумме элементарных работ статически эквивалентной системы сил. По теореме о приведении системы сил к заданному центру произвольную систему сил можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы приложенной в наперед заданной точке Р, и пары сил с моментом Поэтому довольно часто вместо громоздкого подсчета суммы элементарных работ большого числа сил, приложенных к телу, подсчитывают сумму элементарных работ одной силы и одной пары.

Пример 1. Система элементарных сил тяжести твердого тела всегда имеет Равнодействующую, равную весу тела приложенную в центре тяжести С.

Поэтому сумма элементарных работ сил тяжести равна работе силы веса на перемещении центра тяжести тела.

Пример 2. Сумма элементарных работ внутренних сил, приложенных к точкам твердого тела, равна нулю, так как главный вектор и главный момент системы внутренних сил равны нулю.

Работа силы. Потенциальная сила. Работа силы Р на конечном перемещении точки по траектории (см. рис. 31) равна криволинейному интегралу

Сила называется потенциальной, если ее работа не зависит от формы траектории, а зависит лишь от ее начальной и конечной точек.

Примером потенциальной силы является сила тяжести ее работа может быть подсчитана по формуле

Здесь ось выбрана параллельно линии действия силы веса и направлена ей навстречу, — сила веса, — координаты начальной и конечной точек траектории.

Кинетическая энергия. Кинетической энергией точки массы движущейся со скоростью называется скалярная величина Г, определяемая формулой

Кинетической энергией механической системы называется сумма кинетических энергий всех ее точек:

Можно доказать, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии центра масс и кинетической энергии системы при ее относительном движении в системе отсчета Кёнига:

где — относительные скорости точек.

Формулы для кинетической энергии твердого тела:

а) при его поступательном движении:

б) при вращении вокруг неподвижной оси

в) при плоскопараллельном движении: где — момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной основной плоскости и проходящей через центр масс С.

Разные формулировки теоремы о кинетической энергии.

Теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ сил, приложенных к точкам системы, на их элементарных перемещениях

Теорема об изменении кинетической энергии в интегральной форме: изменение кинетической энергии механической системы при некотором ее перемещении равно сумме работ всех сил, приложенных к точкам системы, на перемещениях этих точек

Замечание. В отличие от трех ранее рассмотренных теорем динамики системы последняя теорема характеризуется следующими особенностями:

1) теорема об изменении кинетической энергии связывает не векторные величины, а скалярные;

2) в правую часть равенства входят работы всех сил, не только внешних, но и внутренних (возможно также разбиение суммы работ на сумму работ активных сил и сил реакций связей);

3) сумма работ внутренних сил, приложенных к точкам твердого тела, равна нулю.

Пример. Однородный диск под действием силы веса скатывается без проскальзывания по идеально шероховатой плоскости, наклоненной под углом а к горизонту (рис. 33). Определить ускорение центра диска, величину силы трения и минимальное значение коэффициента трения при котором возможно качение без проскальзывания.

Рис. 33.

Решение. В качестве механической системы выберем диск и применим для исследования Движения теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме (11). Подсчитывая кинетическую энергию диска, найдем

Здесь учтено, что Так как исследуемая система является твердым телом, Подсчитаем сумму элементарных работ внешних сил и, подставив найденные выражения для Т и в равенство (11), получим

Поделив обе части равенства на с учетом кинематических соотношений найдем

Запишем формулировку теоремы о движении центра масс системы (2) применительно к рассматриваемой задаче

Спроектируем полученное векторное равенство на две перпендикулярные оси, первая из которых параллельна нормальной силе реакции

С учетом (12) находим решение этой системы: . Подставляя полученные величины в формулировку закона трения Кулона, определим минимальное значение коэффициента трения при котором возможно качение без проскальзывания: