3.14. Электромагнитная индукция

Закон электромагнитной индукции. При перемещении или деформации контура с током в постоянном магнитном поле силы Ампера, направленные на каждом участке перпендикулярно току, согласно (62) совершают механическую работу Так как полная работа силы Лоренца над любой движущейся частицей равна нулю, то такая же по величине, но обратная по знаку работа совершается магнитным полем (тангенциальной компонентой силы Лоренца) над движущимися по контуру свободными зарядами, что приводит к возникновению в контуре дополнительной ЭДС индукции:

Из принципа относительности Эйнштейна следует, что ЭДС индукции должна возникать и при помещении неподвижного контура в изменяющееся со временем магнитное поле. Рассмотрим, например, сближение с постоянной скоростью замкнутого контура и постоянного магнита. В инерциальной системе отсчета (ИСО), связанной с магнитом, создаваемое им поле не зависит от времени, и возникновение ЭДС в контуре объясняется действием силы Лоренца. В другой ИСО, связанной с контуром, наблюдается такая же ЭДС, но в неподвижном проводнике она не может быть вызвана магнитными силами. Следовательно, в изменяющемся со временем магнитном поле должно возникать электрическое поле. Так как работа этого поля при обходе контура должна быть отлична от нуля, то это поле не является электростатическим: его называют вихревым электрическим полем. Итак, независимо от причины, по которой меняется пронизывающий контур магнитный поток, в нем возникает ЭДС индукции, равная

(закон Фарадея). Средняя ЭДС индукции за конечное время равна Прошедший по контуру за это время заряд равен где — сопротивление контура.

Правило Ленца. Направление ЭДС определяется ее знаком; напомним (см. разд. 3.12), что контур должен быть ориентир о ванным: положительное направление нормали к поверхности при вычислении Ф и положительное направление обхода контура для определения знака ЭДС должны быть связаны правилом буравчика. Знак в формуле (76) соответствует правилу Ленца, которое утверждает, что ЭДС индукции должна иметь такое направление, чтобы магнитное поле текущего в этом направлении тока создавало магнитный поток противоположного знака по сравнению с тем изменением потока, которое является причиной возникновения ЭДС. Правило Ленца тесно связано с законом сохранения энергии.

Движение участка контура. При движении элемента контура со скоростью работа силы Лоренца по переносу, пробного заряда вдоль равна наводимые при

Рис. 44.

произвольном движении участка и при поступательном движении в однородном поле, равны соответственно:

где — вектор, соединяющий начало и конец участка. Если концы движущегося проводника разомкнуты, то между ними возникает разность потенциалов, равная ЭДС (в каждой точке проводника электростатическая сила уравновешивается силой Лоренца).

Пример 1. Рассмотрим движение перемычки сопротивлением в вертикальном магнитном поле (рис. 44) по двум горизонтальным рельсам, расстояние между которыми равно I. Предположим, что рельсы замкнуты с одной стороны от перемычки сопротивлением а с другой — сопротивлением Чтобы найти ток через перемычку при ее движении со скоростью используя (77), вычислим ЭДС в перемычке: Тот факт, что ЭДС локализована в движущейся перемычке, позволяет изобразить эквивалентную схему и найти силу тока: , где

Уравнения вихревого электрического поля. Уравнение для вихревого поля в интегральной форме получается при записи закона Фарадея (76) для неподвижного контура в переменном магнитном поле:

Так как циркуляция напряженности электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю, то такому же уравнению удовлетворяет полное электрическое поле. Дифференциальная форма этого уравнения имеет вид

Уравнения (78), (79) представляют собой одно из уравнений Максвелла (в интегральной и дифференциальной формах).

Квазистационарное приближение. Если токи и поля меняются не очень быстро, то можно пренебречь запаздыванием процессов по времени. Сказанное означает, что переменное магнитное поле в любой точке системы определяется (по формулам Био — Савара — Лапласа) токами в этот же момент времени; электростатическое поле определяется распределением зарядов в этот же момент времени,

а вихревое электрическое поле вычисляется по изменяющемуся магнитному полю с помощью (78), (79). Именно в этом приближении рассчитываются цепи переменного тока. Для выполнения этого приближения надо, чтобы характерное время изменения токов было велико по сравнению, во-первых, с временами локальных релаксационных процессов (например, временем установления равновесного распределения заряда на проводнике и во-вторых, со временем запаздывания характерный размер системы). Последнее условие означает, что мы пренебрегаем током смещения в уравнениях Максвелла.

Пример 2. Оценим время перераспределения заряда на проводнике. Будем считать, что где-то в проводнике образовался объемный заряд. Убывание заряда внутри произвольного объема подчиняется уравнению

Самоиндукция и взаимная индукция. Рассмотрим неподвижный контур с током. Предположим, что ток I в этом контуре равномерно изменяется со временем. Создаваемая этим током магнитная индукция будет меняться со скоростью, пропорциональной Следовательно, возникающее в каждой точке пространства вихревое поле тоже пропорционально Это поле создает в контуре ЭДС самоиндукции:

где L называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура. Индуктивность измеряется в генри (в СГС — в см). Величину в называют потокосцеплением самоиндукции контура. С учетом (80) получим:

Эта формула оказывается верной и в том случае, когда изменяется не только но и

Заметим, что определение как коэффициента пропорциональности между потоком и током встречается с трудностями: в случае линейного провода собственный поток бесконечен, а для провода конечной толщины обычное определение потока не годится.

Пример 3. Индуктивность соленоида. Рассмотрим соленоид длиной и площадью по которому течет ток с поверхностной плотностью где — число витков, I — ток в обмотке. Магнитное поле в соленоиде однородно, его индукция (в приближении идеального соленоида) согласно формуле (61) равна При изменении тока циркуляция вихревого поля вычисляется так: а ЭДС на всей длине обмотки равна Для индуктивности и потокосцепления

получим:

Пример 4. Так как ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения тока, то наличие в контуре индуктивности препятствует слишком быстрым изменениям тока. Предположим, что последовательно соединенные сопротивление и катушку индуктивностью замкнули на источник с постоянной ЭДС, равной Нарастание тока от нуля до происходит за конечное время и подчиняется уравнению решение которого имеет вид . Характерное время нарастания тока равно

Если имеется два неподвижных контура, то изменение тока одного контура вызовет в другом пропорциональную взаимной индукции:

где называются коэффициентами взаимной индукции; для них оказывается верна теорема взаимности: (в неферромагнитной среде). Потокосцепление взаимной индукции определяется как Эта величина оказывается определенной и для двух линейных токов (в этом случае

Энергия контура. Энергией контура с током называется работа внешних сил и источников при создании тока (или работа вихревого поля при его уничтожении). Работа источника против ЭДС самоиндукции контура вычисляется так:

При последовательно полевом подходе энергия должна быть связана не с током в контуре, а с магнитным полем. Зависимость плотности энергии от магнитной индукции проще всего установить в случае длинного соленоида, в котором поле однородно:

В случае нелинейной зависимости от для плотности энергии получается выражение:

Используя теорему взаимности можно получить обобщение выражения (84) для нескольких контуров:

Здесь полное потокосцепление для контура. Видно, что энергия токов включает в себя энергию каждого тока и энергию их взаимодействия. С помощью уравнений магнитного поля можно показать, что это выражение всегда преобразуется к виду:

Закон сохранения энергии и вычисление сил. При медленном изотермическом изменении расположения тел и контуров с током суммарная работа внешних сил и источников тока идет на изменение энергии магнитного поля и на выделение джоулевой теплоты. При этом работа внешних сил над каждым телом равна работе сил, действующих на тело со стороны магнитного поля. Если токи поддерживаются постоянными, то надо учитывать только дополнительную работу источников против ЭДС индукции, а работа исходной ЭДС равна выделяющейся теплоте, и в законе сохранения энергии они сокращаются.

Пример 5. Рассмотрим два контура с токами которые поддерживаются постоянными. Запишем закон сохранения энергии при медленном смещении первого контура. Согласно (86) изменяется только энергия взаимодействия токов, равная где — поток в первом контуре, создаваемый вторым током. В то же время потенциальная функция контура с током во внешнем поле равна см. (63). Кажущееся противоречие объясняется, если учесть дополнительную работу источников против ЭДС индукции в каждом контуре. Эта работа равна что в два раза больше, чем изменение энергии поля