3.12. Циркуляция и поток вектора магнитной индукции

Закон полного тока. Из закона Био — Савара — Лапласа можно вывести утверждение, что циркуляция магнитной индукции вдоль любого замкнутого контура определяется алгебраической суммой токов, охватываемых этим контуром (т.е. током, проходящим через натянутую на контур поверхность):

где положительное направление нормали определяется движением буравчика при его вращении в направлении обхода контура.

Теорема Гаусса для магнитного поля. Поток вектора магнитной индукции (магцитный поток) через любую замкнутую поверхность равен нулю:

Это значит, что линии магнитной индукции всюду непрерывны, т.е. не существует магнитных зарядов, на которых бы начинались или оканчивались линии поля. Магнитный поток измеряется в веберах в СИ, в максвеллах в СГС.

Пример 1. Поле соленоида. Соленоидом называется длинная цилиндрическая катушка из тонкого плотно намотанного провода. Соленоид характеризуют количеством витков намотанных на единицу длины. Идеальной моделью соленоида называют тонкую бесконечно длинную цилиндрическую поверхность с поверхностным током плотностью текущим перпендикулярно образующей. Нетрудно убедиться, что магнитная индукция в идеальном соленоиде всюду направлена параллельно образующей (для этого надо рассмотреть вклад любых двух симметричных элементов тока), Вне соленоида поле отсутствует. Из закона полного тока и теоремы Гаусса следует, что внутри соленоида Чтобы найти величину В, надо применить закон полного тока к прямоугольному контуру, одна сторона которого проходит вдоль образующей внутри цилиндра, а другая — вне (рис. 39): Получим, что магнитная индукция внутри соленоида равна

Рис. 39.

Пример 2. Поле толстого провода. Найдем магнитное поле бесконечного прямого провода радиусом Я, по которому протекает ток I (рис. 40). Линии индукции имеют вид окружностей. Выбирая окружность радиусом в качестве контура для закона полного тока (59), при получим Аналогично при имеем Из этих равенств находим магнитную индукцию

Пример 3. Поле плоскости с током. Рассмотрим ток, текущий по бесконечной плоскости в направлении оси у с постоянной плотностью Магнитная индукция над плоскостью при направлена вдоль х, а при — противоположно х (в этом можно убедиться, рассмотрев вклад двух линий тока, расположенных симметрично по отношению к данной точке). Выберем прямоугольный контур, одна сторона которого проходит над плоскостью в направлении а другая — симметрично ей под плоскостью (рис. 41). Из закона полного тока получим: т.е.

Перемещение контура с током в магнитном поле. При перемещении или деформации контура с постоянным током I в магнитном поле работа силы Ампера, действующей на участок контура, равна

Рис. 40.

Рис. 41.

где — перемещение участка контура -элемент площади, заметаемой этим участком при его перемещении. Суммируя вдоль всего контура, получим, что механическая работа магнитного поля выражается через изменение магнитного потока Ф через контур:

Это значит, что контуру с током I в постоянном магнитном поле можно сопоставить потенциальную функцию изменение которой (с обратным знаком) равно работе силы Ампера:

Для случаев однородного поля или маленького плоского витка формула (63) принимает вид:

где — магнитный момент контура с током (см. разд. 3.10). Поскольку это выражение совпадает с потенциальной энергией электрического диполя (см. разд. 3.3), то такой же вид должны иметь выражения для вращательного момента, действующего на магнитный момент, и для силы, действующей на него в неоднородном поле:

где вектор параллелен вектору . Равновесная ориентация с минимальной энергией соответствует положению ориентированный таким образом виток втягивается в область более сильного магнитного поля.

Уравнения Максвелла для постоянного магнитного поля. В дифференциальной форме это уравнения