5.3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя

Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема Ролла. Если функция непрерывна на отрезке дифференцируема на интервале то найдется хотя бы одна точка с такая, что

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале то найдется хотя бы одна точка с такая, что

Это равенство называют формулой конечных приращений.

Теорема Коши. Пусть функции непрерывны на отрезке дифференцируемы на интервале при всех Тогда найдется хотя бы одна точка с такая, что

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Пусть функции дифференцируемы и в некоторой окрестности точки а . Если — бесконечно малые или бесконечно большие функции при , т.е. если представляет в точке а неопределенность вида — или то

(при условии, что существует конечный или бесконечный предел отношения производных).

Замечание. Правило Лопиталя применимо и в том случае, когда а представляет собой один из символов

Пример 1. Вычислить

Решение. Используя правило Лопиталя, последовательно имеем

Неопределенности вида приводятся к неопределенностям вида — или с помощью алгебраических преобразований, например

Неопределенности вида приводятся к неопределенностям вида — или — с помощью предварительного логарифмирования:

Пример 2. Вычислить

Решение. Здесь имеет место неопределенность вида поэтому сначала находим Следовательно,