1.2. Кинематика твердого тела

Основные определения. В механике твердым телом называют идеализированное тело, расстояние между любыми двумя точками которого не меняется (т.е. отсутствуют деформации). Выделяют два простых движения твердого тела — поступательное и вращательное. При поступательном движении отрезок, соединяющий любые две точки тела, перемещается параллельно самому себе. Значит, все точки тела движутся одинаково, т.е. достаточно описать движение одной точки. При вращательном движении все точки твердого тела (или его мысленного продолжения), принадлежащие некоторой прямой — оси вращения, остаются неподвижными. Остальные точки тела движутся по окружностям, перпендикулярным оси вращения. Угловые скорости всех точек в каждый момент времени одинаковы, поэтому вводят вектор угловой скорости направление которого вдоль оси вращения определяется по правилу буравчика. Распределение линейных скоростей точек тела можно представить с помощью векторного произведения

где радиусы-векторы проводятся из любой точки на оси. В случае неподвижной оси вращения вектор углового ускорения также направлен вдоль оси.

Плоское движение твердого тела определяют как движение, при котором скорости всех точек тела параллельны некоторой плоскости. Если с любой точкой тела (или его мысленного продолжения) связать поступательно движущуюся систему координат, то относительное движение будет чистым вращением вокруг неподвижной оси, перпендикулярной плоскости движения.

Рис. 3.

Пример 1. Качение колеса без проскальзывания со скоростью удобно представить как сумму поступательного движения со скоростью и вращательного движения с угловой скоростью (рис. 3). Скорость любой точки относительно земли можно найти по закону сложения скоростей (1). В частности, скорость нижней точки колеса должна быть равна нулю, откуда следует связь между и Ускорения всех точек направлены к центру колеса.

Мгновенная ось вращения. Если какая-то точка тела (или его мысленного продолжения) в данный момент неподвижна, то существует проходящая через нее прямая неподвижных точек, которую

называют мгновенной осью вращения. Распределение скоростей в этот момент описывается формулой (2). Мгновенная ось и могут менять свое положение как в пространстве, так и относительно тела. В частности, в примере 1 можно получить скорости всех точек колеса как результат чистого вращенияотносительно мгновенной оси, проходящей через точку касания . Угловое ускорение может быть непараллельно мгновенной оси.

Сложение угловых скоростей. Движение относительно вращающейся системы отсчета. Движение твердого тела с неподвижной точкой представляет собой в каждый момент времени чистое вращение вокруг мгновенной оси. Если это движение можно представить как вращение с угловой скоростью относительно системы отсчета, вращающейся с угловой скоростью то результирующая угловая скорость равна Для доказательства надо обобщить закон сложения скоростей (1) на непоступательное движение системы отсчета:

где — переносная скорость данной точки системы отсчета. В случае вращающейся системы отсчета

Когда относительное движение представляет собой чистое вращение, получим т.е. результирующее движение представляет собой вращение с угловой скоростью

Пример 2. Рассмотрим круговой конус с углом полураствора а, который положили на бок и покатили без проскальзывания так, что его ось вращается с угловой скоростью (рис. 4). Найти угловую скорость и угловое ускорение конуса.

Рис. 4.

Решение. Во вращающейся системе отсчета, в которой ось конуса неподвижна, происходит вращение вокруг этой оси с угловой скоростью Связь между найдем из условия неподвижности точки или

Из этого соотношения следует, что вектор направлен горизонтально, по линии соприкосновения конуса с плоскостью, которая, конечно же, является мгновенной осью вращения. Вклад в угловое ускорение дает только вращение вектора с угловой скоростью а.

Формула (4) является частным случаем формулы для производной по времени от любого вектора

где первый член — скорость изменения А относительно вращающейся системы координат (см. также сноску к формуле (2)).

При изучения неинерциальных систем отсчета (см. разд. 1.9) нам понадобится связь между ускорениями точки в неподвижной и вращающейся системах отсчета. Ее можно получить, применив (5) к каждому из двух членов в (4):

Последний член представляет собой переносное ускорение данной точки системы отсчета (центростремительное ускорение). Видно, что кроме относительного и переносного ускорений, возникает дополнительное слагаемое, которое называют кориолисовым ускорением.