1. Кинематика

Кинематика — раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения точкр или тела вне зависимости от их массы и причин, вызывающих это движение.

1.1. Кинематика точки

Задать движение точки — значит задать правило, в соответствии с которым можно указать положение точки в каждый момент времени. Наиболее распространенными и удобными способами задания движения точки явпяются: векторный, координатный и естественный.

Векторный способ задания движения точки. Положение точки М задается радиусом-вектором проведенным в нее из неподвижного центра (полюса) Р (рис. 1). Радиус-вектор является векторной функцией скалярного аргумента — времени с течением времени конец вектора описывает в пространстве кривую, которая называется траекторией точки.

Наряду с радиусом-вектором кинематическое состояние точки М характеризуют векторы скорости и ускорения

Рис. 1.

Скорость точки — вектор производной по времени от радиуса-вектора, характеризует быстроту и направление изменения положения точки в пространстве. Вектор скорости направлен по касательной к траектории в точке М.

Ускорение точки — вектор первой производной по времени от вектора скорости, или второй производной от радиуса-вектора. Ускорение удобно представить в виде суммы двух векторов а Т и расположенных в плоскости, образуемой векторами :

Вектор направлен параллельно и называется касательным (тангенциальным) ускорением, а вектор направлен перпендикулярно а Т в сторону вогнутости траектории и называется нормальным ускорением.

Величины можно найти по формулам

где а скалярное произведение векторов а и

Координатный способ задания движения точки. Положение точки в пространстве задается тремя функциями времени

где х, у, z — декартовы координаты точки М. Этот способ является другим представлением векторного, так как радиус-вектор выходящий из начала координат, можно представить в виде векторной суммы

где к — единичные векторы (орты), направленные вдоль координатных осей х, у, z (рис. 1).

Проекции скорости на оси координат определяются дифференцированием по времени соответствующих функций (1):

Вектор скорости находится в виде геометрической суммы трех векторов:

а модуль скорости — по формуле

Проекции ускорения на оси координат ускорение также его модуль находятся по формулам

Значение касательного ускорения вычисляется при помощи выражения

При движение точки называется ускоренным, так как модуль скорости является в данный момент времени возрастающей функцией. При движение называется замедленным.

Естественный способ задания движения точки. Положение точки в пространстве определяется заданием:

а) траектории точки;

б) начала отсчета на траектории (точки О, от которой будет отсчитываться дуговая координата

в) положительного направления отсчета дуговой координаты;

г) закона движения точки — зависимости ее дуговой координаты от времени.

Дуговая координата — это длина дуги траектории, отсчитываемая от точки О до точки М. Если отсчет длины ведется в положительном направлении, то значение дуговой координаты положительно, а в противоположном случае — отрицательно.

Естественные оси координат наиболее удобны для изучения движения точки, заданного естественным способом. Сначала в точке М строится соприкасающаяся окружность, которая из всех мыслимых окружностей, проходящих через точку М, наиболее плотно смыкается с траекторией (рис. 2). Центр этой окружности называется центром кривизны траектории, а ее радиус — радиусом кривизны траектории в точке М. Величина называется кривизной траектории. На пологих участках траектории значения больше, чем в точках искривленных участков, а к, наоборот, — меньше. Плоскость, в которой лежит соприкасающаяся окружность, называется соприкасающейся плоскостью, и часть траектории в окрестности точки М «практически» лежит в этой плоскости.

Рис. 2.

Естественными осями координат называются три взаимно перпендикулярные оси: касательная к траектории в точке М, направленная в сторону возрастания дуговой координаты главная нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости и направленная к центру кривизны; бинормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости и направленная так, что если посмотреть навстречу ее положительному направлению, ближайший поворот; от касательной оси к оси главной нормали кажется происходящим против хода часовой стрелки. Единичные векторы (орты) обозначаются соответственно (рис. 2), они образуют правую тройку. По построению и

Используя естественные оси координат, векторы скорости и ускорения точки М можно записать в виде

Величина называется алгебраическим значением скорости и может быть как меньше, так и больше нуля. При положительном значении скорость точки направлена в сторону положительного отсчета дуговой координаты. Абсолютное значение равно модулю скорости Аналогично называется алгебраическим значением

касательного ускорения, и, например, при вектор направлен в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты.

При одинаковых знаках и движение точки в рассматриваемый момент времени ускоренное, при разных — замедленное. Нормальное ускорение равно нулю при движении точки по прямолинейному участку траектории. Касательное ускорение точки равно нулю, когда при движении точки алгебраическое значение величины скорости остается постоянным.

Равнопеременным движением точки называется движение, при котором

В этом случае алгебраическое значение скорости и дуговая координата могут быть найдены по формулам

Рис. 3.

Здесь — алгебраическое значение скорости и дуговая координата, соответствующие моменту времени

Равномерным называется такое движение точки, при котором

В общем случае дуговая координата и пройденный точкой путь могут быть найдены по формулам:

Отсюда видна разница между дуговой координатой и путем, пройденным точкой.

Пример. Линейка эллипсографа длиной (рис. 3) движется так, что угол (в радианах) изменяется по закону . При этом точка В линейки движется по горизонтальной прямой, а точка А — по вертикальной. Найти траекторию точки С, лежащей на середине линейки, а также ее скорость, ускорение и радиус кривизны траектории при .

Решение. Перейдем сначала к ранее рассмотренному координатному способу задания движения. Введем оси координат, как указано на рисунке, после чего найдем Возводя в квадрат правые и левые части уравнений движения и складывая их почленно, получим уравнение траектории

откуда следует, что точка С движется по окружности радиуса

Воспользовавшись затем формулами (2) — (6) и учитывая, что моменту

времени соответствуют найдем

причем последний результат очевиден заранее, исходя из полученного уравнения траектории.