5.2. Теорема о движении центра масс

Формулировка теоремы: центр масс механической системы движется так же, как двигалась бы материальная точка с массой равной массе системы под действием внешних сил, приложенных к системе:

где — масса системы, а — ускорение центра масс.

Математическая запись теоремы (2) похожа на второй закон Ньютона. Дадим более подробное изложение теоремы. При движении системы ее центр масс С движется по некоторой траектории. Пусть, например, в момент времени он находится в положении В и имеет скорость Если теперь в момент времени в положение В поместить точку массы сообщить ей скорость и приложить к ней силы, равные внешним силам, действующим на систему, то, начиная с этого момента, точка будет двигаться вместе с центром масс системы, по одной и той же траектории, с одинаковой скоростью и одинаковым ускорением.

Из уравнения (2) можно получить дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат:

Закон сохранения скорости центра масс механической системы: если главный вектор внешних сил системы равен нулю, центр масс системы движется с постоянной скоростью, т.е. если то

Отметим, что в этом случае постоянным является вектор скорости, а не только его модуль, поэтому центр масс будет двигаться равномерно и прямолинейно.

Если проекция главного вектора внешних сил, системы на какую-либо ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось остается постоянной. Например, если то

Пример. По боковой грани призмы массы находящейся на гладкой горизонтальной плоскости, под действием силы веса скатывается однородный диск массы (рис. 28). Угол наклона боковой грани к основанию равен а. В начальный момент скорости призмы и диска равны нулю. Определить расстояние на которое сдвинется призма, когда центр диска переместится вдоль грани на расстояние

Решение. Включим в механическую систему два тела — призму и диск и расставим внешние силы — активные силы веса и и силу реакции гладкой плоскости. Характерная особенность системы внешних сил заключается в том, что все они перпендикулярны горизонтальной оси, и поэтому сумма их проекций на эту ось равна нулю.

Рис. 28.

Направим ось х горизонтально слева направо с началом в точке О. На рис. 28 изобразим систему в двух положениях: начальном I и в тот момент времени, когда диск переместился по грани призмы на расстояние Поскольку направление и величина перемещения призмы заранее неизвестны, то, особенно не гадая, изобразим положение II правее начального положения I.

Так как из закона сохранения проекции скорости центра масс системы на ось х следует Так как в положении I все скорости были равны нулю, то Отсюда следует, что или Пользуясь формулами для координат центра масс, перепишем последнее равенство так:

Здесь и — координаты центров масс призмы и диска в положении — аналогичные величины в положении II.

Из рис. 28 видно, что а. Подставляя эти соотношения в формулу (3), после алгебраических преобразований найдем

Знак полученного ответа говорит о том, что перемещение призмы направлено противоположно изображенному на рисунке.