5. Прямой изгиб

5.1. Изгибающий момент и поперечная сила

Определения. Изгибом называется такой вид деформации стержня, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты , быть может, поперечные силы а остальные внутренние силовые факторы и равны нулю.

В случае равенства нулю поперечных сил изгиб называют чистым, а при наличии поперечных сил имеем так называемый поперечный изгиб.

Будем рассматривать стержни, поперечные сечения которых имеют ось симметрии у. Если на такой стержень действует система внешних сил, лежащих в плоскости и направленных перпендикулярно продольной оси стержня (рис. 13), то в его поперечных сечениях возникнут только два внутренних силовых фактора — изгибающий момент и поперечная сила Такой изгиб называют прямым (о косом изгибе смотри разд. 6.1).

Рис. 13.

Правило знаков: изгибающий момент считается положительным, если он приводит к растяжению нижних волокон и сжатию верхних; поперечная сила положительна, если при воздействии на сечение справа она направлена вниз, а при воздействии слева — вверх.

Как уже отмечалось, внутренние силовые факторы стержня зависят от продольной координаты рассматриваемого сечения, т.е. является функциями переменной

Дифференциальные уравнения равновесия стержня. Расмотрим стержень, на который действует распределенная вдоль его оси нагрузка (рис. 14, а). Выделим двумя сечениями бесконечно малый элемент (рис. 14, б), действие отброшенных частей стержня заменим соответствующими внутренними усилиями, направления которых выбраны положительными.

Вычисляя сумму проекций всех сил на ось у и сумму моментов сил относительно точки О, составим соответствующие уравнения равновесия элемента

Из них следуют соотношения

Рис. 15. (см. скан)

называемые дифференциальными уравнениями равновесия стержня при изгибе. Уравнения (1), которым должны удовлетворять функции часто используют при построении эпюр изгибающих моментов и поперечных сил, а также при проверке этого построения.

Стержни, работающие преимущественно на изгиб, принято называть балками.

Примеры построения эпюр. Рассмотрим примеры построения эпюр для некоторых балок с использованием метода сечений.

На рис. 15, а показана консольная, т.е. с защемленным концом, балка, нагруженная сосредоточенной силой. В соответствии с методом сечений проведем произвольное поперечное сечение К, отстоящее на расстояние от свободного конца балки, и рассмотрим равновесие свободной отсеченной части. Действие отброшенной части заменим неизвестными усилиями считая их направления положительными. Вычисляя сумму проекций всех сил на ось у и сумму моментов сил относительно точки А, составим соответствующие уравнения равновесия

Рис. 16.

откуда получим Таким образом, поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется прямо пропорционально расстоянию принимая значения 0 и соответственно на свободном и защемленном концах балки. На рис. 15, а даны соответствующие эпюры

Та же процедура для балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 15, б), дает

откуда В данном случае поперечная сила есть линейная функция , а изгибающий момент зависит от по закону квадратной параболы, чему соответствуют эпюры на рис.

Аналогично для консольной балки, нагруженной моментом (рис. 15, в), получим

Для двухопорных башок (рис. 16), у которых нет свободных концов, необходимо предварительно найти опорные реакции из условий равновесия для балки в целом. После этого можно приступить к определению внутренних усилий аналогично предыдущему.

Для произвольного сечения на участке балки, нагруженной в центре сосредоточенной силой (рис. 16, а), получим: где — расстояние от левого конца А. Для сечения на участке находим: Соответствующие эпюры даны снизу на рис. 16, а.

Для балки на рис. Для середины балки имеем

Для участка балки на рис. 16, в: а для участка

Особенности эпюр Кратко сформулируем качественные особенности эпюр, вытекающие из соотношений (1).

1. На участке балки, свободном от нагрузки величина постоянна, а — линейная функция

2. На участке равномерно распределенной нагрузки линейная функция, а — квадратичная (см. рис. 15, б, 16, б).

3. В точках приложения сосредоточенной силы величина претерпевает скачок на величину этой силы, а эпюра имеет излом (рис. 16, а).

Рис. 17.

4. В точках приложения сосредоточенного момента величина претерпевает скачок на величину этого момента (рис. 16, в).

В точках экстремумов функции величина (рис. 16, б).

Знание качественных особенностей эпюр позволяет строить эпюры, не находя функциональных зависимостей а вычисляя значения только на границах характерных участков. Экстремальные значения определяются после нахождения точек экстремума из условий