1.6. Закон сохранения момента импульса

Момент силы. Равнодействующая. Момент силы Р относительно точки О определяется равенством

где — радиус-вектор точки приложения силы. Момент силы не меняется при перемещении силы вдоль линии ее действия. Модуль момента равен где а — угол между силой и радиусом-вектором, — расстояние между точкой О и линией действия силы, которое называют плечом силы (рис. 6). Важнейшее свойство момента силы заключается в том, что для любой системы точек сумма моментов внутренних сил равна нулю. Справедливость этого утверждения основана на том, что по третьему закону Ньютона (см. разд. 1.3) силы взаимодействия между точками не только равны по величине и противоположны по направлению, но и направлены вдоль соединяющей эти точки прямой. Отметим еще одно свойства момента сил: если сумма сил равна нулю, то они создают одинаковый суммарный момент относительно любой точки пространства.

Рис. 6.

Равнодействующей системы сил называют силу, равную их векторной сумме и приложенную таким образом, что ее момент относительно любой точки пространства равен суммарному моменту этой системы сил.

Пример 1. Вычислим суммарный момент сил тяжести, действующих на точки системы:

где — масса системы, — радиус-вектор центра масс. Видно, что равнодействующая сил тяжести проходит через центр масс, т.е. центр масс является также центром тяжести.

Моментом силы относительно оси называют проекцию на эту ось момента сил относительно любой точки на этой оси. Если разложить как так и Р в (21) на две составляющих, параллельную оси и перпендикулярную к ней, составляющие, параллельные оси, не дадут вклада в проекцию момента на ось. Следовательно, . В плоскости, перпендикулярной оси, получим такую же картинку, как на рис. 6, только вместо надо обозначить Соответственно модуль момента относительно оси также равен произведению силы на плечо, а выбор положительного направления вдоль оси можно заменить выбором более наглядного положительного направления вращения вокруг оси.

Моментом импульса материальной точки относительно точки О называют величину

где — радиус-вектор материальной точки, проведённый из точки — ее импульс. При движении с постоянной скоростью момент импульса не меняется. Модуль момента импульса равен произведению импульса на плечо. Моментом импульса относительно оси называется проекция на эту ось момента импульса относительно любой точки на этой оси. Момент импульса относительно оси определяется проекцией движения точки на плоскость, перпендикулярную к оси: Все эти свойства абсолютно аналогичны соответствующим свойствам момента силы.

Производная по времени от момента импульса материальной точки относительно точки О

равна моменту результирующей силы относительно точки О (член в силу параллельности векторов и

Пример 2. Движение в центральном поле. Так как на частицу в центральном поле действует сила, направленная в сторону центра поля, то момент этой силы относительно центра тождественно равен нулю. Значит, вектор момента импульса относительно центра сохраняется. Из определения (22) следует, что движение происходит в одной плоскости, перпендикулярной и что сохраняется величина . Эта величина пропорциональна скорости «заметания площади радиусом-вектором так что

утверждение о сохранении момента импульса при движении в центральном поле оказывается эквивалентным знаменитому второму закону Кеплера.

Моментом импульса системы относительно точки О называется сумма моментов импульса материальных точек, составляющих эту систему. Момент импульса системы равен

Одно из следствий этого равенства: если импульс системы равен нулю, то не зависит от выбора точки О. Суммируя уравнение (23) по всем точкам системы и учитывая, что суммарный момент внутренних сил равен нулю, получим

т.е. производная по времени от момента импульса системы равна суммарному моменту внешних сил.

Закон сохранения момента импульса. Из уравнения (25) следует, что момент импульса замкнутой системы сохраняется. Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом, отражающим изотропность пространства, т.е. равноправие всех его направлений. Как и в случае законов сохранения импульса и энергии, действие закона сохранения момента импульса выходит за пределы ньютоновской механики, в рамках которой он был выведен.

Момент импульса незамкнутой системы сохраняется в следующих случаях:

1. Если суммарный момент внешних сил Йе равен нулю. (Пример: движение частицы в центральном поле.)

2. Если равен нулю момент импульса внешних сил относительно некоторой оси, то сохраняется момент импульса относительно этой оси.

Пример 3. Если грузик на конце невесомой нити движется по горизонтальной окружности, то момент импульса относительно любой точки на оси вращения (кроме центра окружности) не сохраняется, а момент импульса относительно оси вращения сохраняется, так как моменты сил тяжести и натяжения нити относительно этой оси равны нулю.

3. Если внешние силы ограничены, то изменением момента импульса за время удара можно пренебречь.