4.4. Упругие волны

Основные определения. Если непрерывная среда обладает упругими свойствами, то движение точек в одном месте среды (в источнике) приводит к распространению этого движения с определенной скоростью в виде упругой волны. Волновое движение среды описывают функцией задающей смещение частицы среды от равновесного положения в момент времени (Частицей среды называют достаточно маленький макроскопический, т.е. содержащий большое число атомов и молекул, элемент среды.) Упругая волна может распространяться в трехмерной среде, двухмерной среде (упругая мембрана) и одномерной среде (упругий стержень, натянутая жесткая нить, столб воздуха). Простейший вид волны — плоская волна, в которой функция меняется только в одном направлении и зависит от координаты х. Если при этом вектор перпендикулярен направлению распространения волны, то волна называется поперечной, а если параллелен — продольной.

Среда называется однородной, если все ее точки эквивалентны, изотропной, если в ней равноправны все направления, упругой, если возникающие силы зависят только от смещения (деформации), линейной, если силы пропорциональны деформациям. В абсолютно упругой среде механическая энергия волны не рассеивается (не превращается во внутреннюю). Если среда обладает только объемной упругостью, то в ней могут распространяться только продольные волны (жидкость, газ), если она обладает также упругостью формы, то возможны и поперечные (сдвиговые) волны. В линейной среде распространение волн описывается линейными дифференциальными уравнениями,

и осуществляется принцип суперпозиции: если два независимых источника вызывают две разных волны и то совместное действие источников вызовет волну Такое же утверждение верно и для одного источника, движение которого можно разложить на два движения. Поскольку любую функцию времени можно представить в виде интеграла Фурье по гармоническим функциям, то волновое движение линейной среды можно разложить на гармонические волны. Через произвольную точку гармонической волны можно провести единственную поверхность постоянной фазы, которая называется волновой поверхностью, или фронтом волны.

Уравнение плоской гармонической волны. Если в источнике смещение происходит по закону то в точках с координатой х смещение происходит по такому же закону, но с запаздыванием на где — скорость распространения волны:

Здесь — длина волны, — волновое число. Длина волны представляет собой пространственный период профиля гармонической волны; точки, отстоящие на длину волны, совершают синхронные колебания (разность фаз разность фаз между произвольными точками равна . В уравнении (21) предполагается, что потери энергии на расстоянии х пренебрежимо малы; небольшое рассеивание энергии можно учесть эмпирически, введя в (21) множитель где — коэффициент затухания волны. Если ввести волновой вектор k, направленный перпендикулярно фронту волны в сторону ее распространения, то (21) принимает вид, инвариантный по отношению к выбору системы координат:

Последняя форма записи уравнения бегущей волны использует формулу Эйлера; физический смысл имеет только действительная часть Если скорость волны не зависит от частоты (отсутствует дисперсия), то плоское волновое возмущение любой формы распространяется без искажения формы.

Сферические и цилиндрические расходящиеся волны.

Если волна распространяется от точечного (сферического) или линейного (цилиндрического) источника изотропно по всем направлениям, то волновые поверхности будут иметь соответственно форму сфер или круговых цилиндров. В этих случаях уравнения

расходящихся волн в отсутствие потерь энергии имеют следующий вид:

где Убывание амплитуды происходит вследствие возрастания площади волновой поверхности; закон сохранения энергии требует, чтобы поток энергии оставался постоянным (напомним, что энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды; также см. ниже).

Волновое уравнение. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что смещение гармонической волны удовлетворяет уравнению

которое называется волновым уравнением. Если скорость гармонической волны не зависит от частоты (зависимость от является линейной, т.е. отсутствует дисперсия), то такому же уравнению удовлетворяет любая суперпозиция плоских волн. Верно также и обратное утверждение: если уравнение движения частицы среды удалось привести к (23), то волновые возмущения данной среды распространяются со скоростью V.

В одномерном случае общее решение уравнения (23) имеет вид

где — произвольные (дифференцируемые) функции. Первое слагаемое описывает распространение плоского сигнала со скоростью без изменения формы в направлении положительных х, а второе слагаемое — распространение сигнала со скоростью в направлении отрицательных х.

Пример 1. Упругий стержень. Силы, возникающие при продольных упругих деформациях стержня, подчиняются закону Гука: где — напряжение в данной точке стержня (среды), — (относительная) деформация Е — модуль Юнга. Деформация в точке с координатой х выражается через частную производную: Сила, действующая на частицу среды размером и массой равна Уравнение движения частицы среды имеет вид:

Значит, скорость распространения волн в упругом стержне равна . С такой же скоростью распространяется продольная волна в упругой среде.

Пример 2. Натянутая струна. По струне, сила натяжения которой равна Т, может распространяться поперечная волна. Пусть профиль струны в данный момент задается функцией Получим уравнение движения частицы среды размером в предположении «плавной» волны: Вертикальная проекция силы натяжения равна угол наклона струны); вертикальная сила, действующая на частицу среды размером и массой равна — линейная плотность струны). Уравнение движения частицы среды имеет вид

Значит, скорость распространения волн в упругом стержне равна

Пример 3. Воздушный столб в цилиндре. Объемная упругость газа (или любой термодинамически простой среды) характеризуется объемным модулем упругости Значение К зависит от условий, при которых происходит объемная деформация газа. Для звуковых колебаний Гц) можно пренебречь теплообменом между разными частицами среды и считать К адиабатическим модулем упругости: Изменение давления в данной точке цилиндра равно (при малых деформациях) сила, действующая на частицу воздушной среды размером и массой равна Уравнение движения частицы среды имеет вид

Значит, скорость распространения волн в воздушном цилиндре равна . (Эти выражения верны для любой термодинамически простой среды: для реального газа, для жидкости.) Для звуковых волн в идеальном газе получим: где — показатель адиабаты (см. разд. 2.2).

Объемная плотность энергии. Плотность потока энергии.

Плотности кинетической и потенциальной энергии в данной точке плоской упругой продольной волны:

Для бегущей волны произвольной формы выполняется соотношение Учитывая, что для упругой продольной волны получим, что плотности кинетической и потенциальной энергии в каждой точке бегущей волны равны друг другу. Это утверждение верно для бегущей волны любой природы. В случае гармонической плоской волны (21) объемная энергия волны и ее среднее по времени значение имеют вид:

Плотность потока энергии (вектор Умова) в данной точке бегущей волны равна

где и — скорость переноса энергии. Для бездисперсионной среды где V - скорость распространения волны, входящая в волновое уравнение (24). Для гармонической бегущей волны (21) где — фазовая скорость волны: Энергия, переносимая бегущей волной через площадку за единицу времени (поток энергии), равна Модуль среднего по времени значения модуля вектора Умова (его иногда называют интенсивностью волны) для гармонической плоской волны равен . В случае произвольной (в том числе стоячей) продольной упругой волны можно использовать выражение для и через мощность упругих сил (на единицу площади):

где — напряжение в данной точке среды (см. пример 1). Для поперечной волны в струне (пример 2) поток энергии имеет аналогичный вид:

Дисперсия. Групповая скорость. Зависимость скорости гармонической волны от частоты или длины волны называется дисперсией, а среда, в которой наблюдается это явление, называется диспергирующей. В диспергирующей среде иесинусоидальный бегущий импульс меняет свою форму в процессе движения, поскольку гармонические волны, входящие в его разложение Фурье, перемещаются с разной скоростью. Скорость переноса энергии, входящая в выражение (25) для вектора Умова, определяется в этом случае как скорость движения центра импульса (или как скорость точки, в которой деформация максимальна) и называется групповой скоростью волнового пакета (в отличие от фазовой скорости синусоидальной волны Конечный импульс размером называют волновым пакетом по той причине, что в его разложение в интеграл Фурье по гармоническим волнам входит конечная группа волн, спектральная ширина которой определяется соотношением: Групповая скорость такого импульса равна

где — фазовая скорость волны. Понятием групповой скорости волнового пакета можно пользоваться только в том случае, если его спектральная ширина столь мала, что зависимость и; можно считать линейной.

Для иллюстрации рассмотрим волну, являющуюся суперпозицией всего двух бегущих волн близких частот и одинаковой амплитуды:

Видно, что огибающая волн имеет пространственный период и перемещается со скоростью и .

Интерференция волн. Две волны называются когерентными, если в любой точке пространства они создают ерентные колебания, разность фаз которых не меняется со временем (см. разд. 4.1). Источники когерентных волн называются когерентными источниками. При сложении некогерентных волн средняя по времени энергия результирующего колебания равна сумме их средних энергий. При сложении когерентных волн, колебания частиц в которых происходят в одном или близких направлениях, может наблюдаться явление интерференции, т.е. устойчивое во времени ослабление колебаний в одних точках пространства и усиление в других. Если точка находится на расстоянии от одного из когерентных источников и на расстоянии от друг ого, то разность фаз между колебаниями в этой точке равна

Здесь разность фаз между колебаниями источников, разность хода волн. Условие максимума результирующих колебаний: условие минимума - где порядок интерференционного максимума (минимума). В случае синфазных источников эти условия принимают особенно простой вид:

Пример 4. Рассмотрим два линейных когерентных источника цилиндрических волн, которые находятся на расстоянии друг от друга. В точках, расположенных вдали от источников, разность хода нолн определяется только направлением излучения и равна (рис. 55). В случае синфазных источников излучение ослаблено в направлении и усилено в направлении а в случае источников, совершающих колебания в противофазе — наоборот.

Рис. 55.

Стоячие волны. Собственные колебания. Важным примером интерференции является стоячая волна) возникающая при сложении двух одинаковых плоских бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу:

Амплитуда колебаний точек волны периодически меняется от нуля (в узлах волны) до (в пучностях волны). Расстояние между соседними узлами равно Колебания точек между двумя узлами происходят в фазе, но по разные стороны узла

Рис. 56.

в противофазе. В узлах равна нулю амплитуда колебаний скорости, но максимальное значение имеет амплитуда колебаний деформации . В пучностях, наоборот, отсутствуют деформации, но с максимальной амплитудой происходят колебания скорости. Средняя по времени энергия имеет одинаковое значение во всех точках стоячей волны. Вектор Умова равен нулю как в узлах, так и в пучностях, а в промежуточных точках периодически меняет свое направление.

Если конец стержня, совершающего колебательное движение, жестко закреплен, то смещение точек конца стержня равно нулю; если конец стержня свободен, то равна нулю деформация. В первом случае граничное условие имеет вид а во втором — , где значение соответствует концу стержня. (Такие же условия возникают для колебаний воздуха в цилиндрической трубке в случае закрытого или открытого конца трубки. Для поперечных колебаний натянутой струны из примера 2 возможен только первый вариант, когда конец струны закреплен.) Если все точки конечного стержня совершают гармонические колебания с одной частотой, то такое движение называют собственными колебаниями стержня. Если сделать мысленный разрез бесконечно длинного стержня в том месте, где находится узел стоячей волны, то будет удовлетворяться граничное условие для закрепленного конца, а если в том месте, где пучность, — то для свободного. Значит, свободные колебания стержня длиной в случае двух свободных или двух закрепленных концов должны удовлетворять условию , или (спектр собственных колебаний, а в случае одного закрепленного конца — условию или — Собственное колебание с наинизшей частотой называется основным колебанием, все остальные собственные колебания — обертонами или гармониками.

Отражение бегущей волны. Рассмотрим отражение бегущего импульса от конца стержня. Если конец стержня закреплен, то граничному условию и начальным условиям (один набегающий

импульс) удовлетворяет суперпозиция набегающего импульса и точно такого же по форме бегущего ему навстречу импульса, в котором смещения точек имеют противоположное направление (рис. 56, а). Если же конец стержня свободен, то граничному условию удовлетворяет бегущий навстречу импульс смещений такого же знака (рис. 56, б). В случае бегущей волны отражение от свободного конца происходит без изменения фазы, при этом образуется стоячая волна с пучностью на конце стержня. Отражение от закрепленного конца происходит с изменением фазы на при этом образуется стоячая волна с узлом на конце стержня.

Рис. 57.

Эффект Доплера в акустике. При движении источника и (или) приемника волн, если расстояние между ними изменяется, то регистрируемая частота отличается от излучаемой. Направим ось х от приемника к источнику. Если источник излучает звук с частотой и движется вдоль оси х со скоростью (рис. 57), то расстояние между соседними максимумами волны, распространяющейся вдоль х со скоростью направлении приемника, будет равно а ее частота равна

Если приемник неподвижен, то он зарегистрирует именно эту частоту. Если приемник движется со скоростью то интервал времени между приходом соседних максимумов равен а частота принимаемого Сигнала равна

Эффект Доплера наблюдается в том случае, когда изменяется расстояние между источником и приемником.