14. Теория вероятностей

14.1. Правила и формулы комбинаторики

При решении задач теории вероятностей используются правила и формулы комбинаторики.

Правило суммы. Пусть дана некоторая совокупность объектов (произвольной природы). Если некоторый объект а может быть выбран из этой совокупности способами, а другой объект может быть выбран к способами, то выбор либо объекта а, либо объекта можно осуществить к способами.

Правило произведения. Если объект а может быть выбран способами и после каждого такого выбора объект можно выбрать к способами, то выбор упорядоченной пары объектов можно осуществить тк способами.

Пример 1. Сколько имеется двузначных чисел, составленных из разных цифр?

Решение. Первой цифрой числа может быть одна из цифр а второй — одна из оставшихся после выбора первой цифры, а также 0 (одна из девяти цифр). Искомое количество, согласно правилу произведения, равно

Размещениями из (различных) элементов по элементов называются комбинации, состоящие из элементов, взятых из элементов которые отличаются друг от друга либо составом взятых элементов, либо их порядком. Число размещений равно

Пример 2» Сколько трехзначных чисел можно составить из шести цифр 0, 1, 2,3,4,5?

Решение. Из данных шести цифр отобрать три (в определенном порядке) можно способами. Из этого количества нужно вычесть те тройки чисел, которые начинаются с нуля (т.е. количество двузначных чисел); оно равно числу размещений из цифр 1, 2, 3, 4, 5 по две, т.е. Искомое число трехзначных чисел равно

Перестановками элементов называются комбинации, состоящие из этих элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения элементов. Число перестановок равно

Эту формулу можно получить из выражения для при

Пример 3. Сколькими способами можно рассадить за столом 4 человека? Решение. Искомое число способов равно числу перестановок четырех элементов, т. е.

Сочетаниями из (различных) элементов по называются комбинации, состоящие из элементов, взятых из данных элементов которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний равно

Число сочетаний удовлетворяет соотношению

Пример 4. Сколькими способами можно отобрать три шара из ящика, содержащего шесть пронумерованных шаров?

Решение. Искомое число способов равно числу сочетаний из шести элементов по три, т.е.