14.3. Условная вероятность. Теоремы и формулы теории вероятностей

Условная вероятность Р(В/А) события В при условии, что событие А произошло, по определению равна

Отсюда следует правило умножения вероятностей:

Пример 1. Пусть в условиях примера 2, рассмотренного в разд. 14.2, из ящика последовательно вынимают два шара (первый шар в ящик не возвращается). Найти вероятность того, что первый вынутый шар окажется белым, а второй — черным.

Решение. Обозначим через А событие «первый вынутый шар оказался белым», через В — «второй вынутый шар оказался черным». Искомая вероятность

События А и В называются независимыми, если Для независимых событий А и В выполняются равенства

Для вычисления вероятности произведения событий применяется формула

События называются независимыми в совокупности, если вероятность любого из них не изменяется при наступлении какого угодно числа событий из остальных; для таких событий справедлива формула

Теорема сложения вероятностей:

Для несовместных событий А и В эта формула упрощается:

Отсюда следует формула для нахождения вероятности противоположного события:

Для попарно несовместных событий теорема сложения имеет вид

Часто удобно вычислять вероятность суммы событий, сводя дело к вычислению вероятности произведения противоположных событий:

Пример 2. Из двух орудий производят (независимо) по одному выстрелу по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия составляет 0,8, для второго — 0,9. Требуется найти:

(а) вероятность только одного попадания в цель;

б) вероятность хотя бы одного попадания.

Решение, а) Пусть событие А — попадание в цель из первого орудия, В — из второго. Тогда вероятность только одного попадания в цель равна

б) Вероятность хотя бы одного попадания в цель равна .

Заметим, что последний результат обычно предпочитают получать так: .

Пусть событие А может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий . В этом случае вероятность события А определяется по формуле полной вероятности:

События по отношению к событию А называются гипотезами.

Если в результате опыта событие А произошло, то вероятности гипотез можно «переоценить», т.е. найти условные вероятности гипотез (при условии, что событие А произошло). Эти «новые» вероятности вычисляются по формуле Бейеса:

Пример 3. В ящике содержатся одинаковые изделия, изготовленные двумя автоматами: 40% изделий изготовлено первым автоматом, остальные — вторым. Брак в продукции первого автомата составляет 3%, второго — 2%. Требуется найти:

а) вероятность того, что случайно выбранное изделие окажется бракованным;

б) вероятность того, что случайно выбранное изделие изготовлено первым автоматом, если оно оказалось бракованным.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайно выбранное изделие — бракованное, а через — события, состоящие в том, что это изделие изготовлено соответственно первым и вторым автоматами. Тогда

а) по формуле полной вероятности

б) по формуле Бейеса

Вероятность того, что в независимых испытаниях событие А («успех») наступит ровно к раз, определяется по формуле Бернулли

вероятность успеха в одном испытании, С — число сочетаний из элементов по к.

Вероятности в последней формуле называются биномиальными. Для них выполняется равенство

Пример 4. Найти вероятность того, что при 10 бросаниях монеты «орел» выпадет 5 раз.

Решение. Имеем Тогда по формуле Бернулли искомая вероятность равна

Если велико, а мало, то справедлива приближенная формула Пуассона (для подсчета вероятностей, относящихся к редким событиям)

в которой — среднее число успехов в испытаниях.

Для приближенного вычисления при больших можно применять локальную формулу Муавра—Лапласа:

Вероятность того, что в независимых испытаниях число успехов к находится между приближенно вычисляется по интегральной формуле Муавра—Лапласа:

Здесь — функция Лапласа, для которой имеются таблицы.