1. Физические основы механики

Механическим движением называется изменение положения тела по отношению к другим телам. Как видно из определения, механическое движение относительно. Для описания движения необходимо определить систему отсчета, которая включает в себя тело отсчета, жестко связанную с ним систему координат и набор синхронизированных между собой часов. Механика изучает движение модельных объектов — точек и твердых тел. Положение этих объектов определяется конечным числом независимых параметров (т.е. они обладают конечным числом степеней свободы). Кинематика занимается описанием движения без выяснения его причин.

1.1. Кинематика точки

Основные определения. Скорость и ускорение. Материальной точкой называется тело, размерами которого при описании его движения можно пренебречь. Положение точки в момент времени задается радиусом-вектором проведенным, к этой точке из начала координат (рис. 1).

В процессе движения конец радиуса-вектора описывает пространственную кривую — траекторию. В прямоугольной декартовой системе координат положение радиуса-вектора задается тремя его проекциями на оси — координатами Движение точки полностью определяется заданием закона движения — одной векторной функции или трех скалярных функций Для компактной записи радиуса-вектора (или любого вектора) через его проекции используют единичные орты: Путь — длина участка траектории, пройденного точкой за рассматриваемый интервал времени. Путь — величина скалярная, неотрицательная и не убывающая со временем. Перемещением точки называется вектор соединяющий начальное положение точки с конечным и равный разности радиусов-векторов в конечный и начальный моменты времени.

Рис. 1.

Скорость точки равна производной от радиуса-вектора по времени: Скорость направлена по касательной к траектории. Средняя (по времени) скорость за конечное время определяется как отношение перемещения к интервалу времени:

(Средняя скорость пути равна отношению пройденного пути к интервалу времени.) Движение называют равномерным, если Равномерное движение происходит по прямой. Равномерным движением по заданной криволинейной траектории называют движение с постоянным модулем скорости. (Пример — равномерное движение по окружности.)

Ускорение точки равно производной от скорости по времени: Ускорение лежит в той же плоскости, что и участок траектории, и направлено «внутрь» траектории (в частном случае, когда траектория является прямой линией, ускорение направлено вдоль этой прямой). Проекцию ускорения на направление скорости называют тангенциальным ускорением и обозначают она определяет быстроту изменения модуля скорости и равна производной от модуля скорости: Другую компоненту ускорения, перпендикулярную скорости, называют нормальным ускорением (рис. 2) и обозначают она характеризует быстроту изменения направления скорости и равна где — радиус кривизны траектории (т.е. радиус окружности, наиболее близко примыкающей к траектории в данной точке). Среднее ускорение за время определяется как Движение называют равноускоренным, если Равноускоренным движением вдоль заданной траектории называют движение

Рис. 2.

Прямая и обратная задачи кинематики. Задачу определения характеристик движения по известному закону движения называют прямой задачей кинематики.

Пример 1, Пусть закон движения имеет вид: Найти уравнение траектории, скорость и ускорение.

Решение. Исключая время (с помощью тождества находим уравнение траектории: (окружность радиуса ).

Дифференцируя исходные выражения по времени, получим

Модуль скорости и модуль ускорения не зависят от времени и связаны соотношением Ускорение направлено перпендикулярно скорости к центру окружности:

Задачу определения закона движения по известному ускорению называют обратной задачей кинематики. Для однозначного решения этой задачи нужно знать начальные условия — положение и скорость точки в начальный момент времени.

Пример 2. Равноускоренное движение. Пусть известны ускорение точки и ее начальные скорость и положение Найти траекторию и закон движения точки.

Решение. Последовательно интегрируя, находим сначала скорость точки а затем ее положение

Точка движется в плоскости векторов по параболе, что видно в системе координат, где ось у направлена по а ось а? — перпендикулярно 3.

Во многих случаях задача кинематики не сводится ни к прямой, ни к обратной. В этом случае для определения закона движения приходится решать дифференциальное уравнение. Иногда это уравнение можно решить разделением переменных.

Пример 3. Лодка тормозится силой, пропорциональной квадрату скорости. Найти зависимость скорости движения лодки от времени, если начальная скорость равна

Решение. Второй закон Ньютона приводит к уравнению Разделяя переменные, получим: Интегрируя левую часть уравнения от до а правую — от 0 до находим т.е. Интегрируя далее, можно определить закон движения лодки.

Движение по окружности. Движение по окружности можно описывать с помощью угловых переменных: угла поворота угловой скорости и углового ускорения Если угол измерять в радианах, то длина дуги равна Отсюда следует, что

Величина называется центростремительным ускорением.

Формулы для нормального и тангенциального ускорений можно вывести, если записать скорость в виде где — единичный вектор, направленный вдоль скорости. Получим и учтем, что где единичный вектор, перпендикулярный к скорости и направленный вдоль радиуса. Этот вывод справедлив и для произвольной траектории, если принять соотношение за определение как направления нормали так и радиуса кривизны

Относительность движения. Сложение скоростей. Если движение точки рассматривается из двух систем отсчета К и оси которых остаются все время параллельными друг другу, то между скоростями точки и относительно этих систем отсчета в каждый момент времени выполняется соотношение

где — скорость системы К относительно системы К. Такое же соотношение выполняется и для ускорений: