4.2. Напряжения и деформации при кручении

Напряженное состояние при кручении. Ограничимся рассмотрением стержней с поперечным сечением в форме круга или кольца.

Рис. 11.

Для установления закона распределения напряжений по сечению примем допущение, подтверждаемое опытом, о том, что при кручении поперечные сечения стержня в результате деформации поворачиваются вокруг продольной оси как жесткие диски (кольца). Условия применимости этого допущения аналогичны условиям применимости гипотезы плоских сечений при растяжении или сжатии (см. разд. 3.2).

Рассмотрим стержень, испытывающий кручение под действием двух моментов, приложенных на его концах (рис. 11, а). Разобьем

его на соосные трубки (рис. 11, б) и выделим одну с внутренним радиусом и бесконечно малой толщиной (рис. 11, в).

В силу принятого допущения относительно характера деформирования стержня можно утверждать, что бесконечно малый элемент выделенный из трубки (рис. 11, в), испытывает деформацию, соответствующую чистому сдвигу (см. разд. 2.3). Отсюда следует, что по боковым граням элемента действуют только касательные напряжения (см. рис. 6, а).

Полярный момент инерции. Угол сдвига элемента (рис. 11, в), где — погонный угол закручивания трубки или угол закручивания на единицу длины. Из формулы (3) гл. 2 (закон Гука) следует

Величина погонного угла закручивания одинакова для всех соосных трубок, из которых составлен стержень. Поэтому из формулы (1) вытекает, что касательные напряжения в поперечных сечениях стержня прямо пропорциональны расстоянию до его оси (рис. 12).

Рис. 12.

Крутящий момент может быть получен суммированием моментов всех распределенных по сечению напряжений относительно оси

Интеграл по поверхности сечения называется полярным моментом инерции сечения и представляет собой геометрическую характеристику этого сечения.

Для круга диаметра имеем

Для кольца где и — внутренний и внешний диаметры соответственно.

Касательные напряжения. Угол закручивания. Используя (2), находим

Подставляя это выражение в (1) для получим основную формулу Для касательных напряжений в поперечных сечениях стержня при кручении

Угол закручивания всего стержня на рис. 11, а, т.е. угол взаимного поворота его крайних сечений, можно найти, зная погонный угол закручивания (3) и учитывая постоянство величины вдоль оси стержня

где — длина стержня.

Величина называется жесткостью сечения при кручении.